यदि रैखिक समीकरणों के निकाय x + 2ay + az = 0, x + 3by

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x + 2ay + az = 0,$ $x + 3by + bz = 0,$ $x + 4cy + cz = 0$ का अशून्य हल हो तो $a,b,c$ हैं

समान्तर श्रेणी में

गुणोत्तर श्रेणी में

हरात्मक श्रेणी में

$a + 2b + 3c = 0$ को संतुष्ट करते हैं

(AIEEE-2003)

Solution

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{2a}&a\\1&{3b}&b\\1&{4c}&c\end{array}\,} \right|\, = 0\,$, $[{C_2} \to {C_2} – 2{C_3}]$

$\Rightarrow$ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&0&a\\1&b&b\\1&{2c}&c\end{array}\,} \right| = 0$, $[{R_3} \to {R_3} – {R_2},\,{R_2} \to {R_2} – {R_1}]$

$\Rightarrow$ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&0&a\\0&b&{b – a}\\0&{2c – b}&{c – b}\end{array}\,} \right|\, = 0$ ; $b(c – b) – (b – a)\,(2c – b) = 0$

हल करने पर, $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

$\therefore$ $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

Standard 12

Mathematics

यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।

easy

माना कि $P=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & \alpha \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right]$, जहाँ $\alpha \in R$ है। मान लीजिए कि $Q=\left[q_{i j}\right]$ एक ऐसा आव्यूह (matrix) है कि $P Q=k I$, जहाँ $k \in R , k \neq 0$ और $I$ तीन कोटि (order $3$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। यदि $q_{23}=-\frac{k}{8}$ और $\operatorname{det}(Q)=\frac{k^2}{2}$ हो, तब

$(A)$ $\alpha=0, k=8$

$(b)$ $4 \alpha-k+8=0$

$(C)$ $\operatorname{det}(P \operatorname{adj}(Q))=2^9$

$(D)$ $\operatorname{det}(Q \operatorname{adj}(P))=2^{13}$

normal

(IIT-2016)

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$ तो $\sin \,4\theta $ का मान है

hard

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}\,} \right| = $

medium

सिद्ध कीजिए कि सारणिक

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
a+b x & c+d x & p+q x \\
a x+b & c x+d & p x+q \\
u & v & w
\end{array}\right|=\left(1-x^{2}\right)\left|\begin{array}{lll}
a & c & p \\
b & d & q \\
u & v & m
\end{array}\right|$