बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।
$\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
$\Delta=\left|\begin{array}{lll}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & z+y\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{ccc}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a & p & x\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ b & q & y\end{array}\right|$
$=\Delta_{1}+\Delta_{2}(\text { say }).......(1)$
Now, $\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a & p & x\end{array}\right|$
Applying $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2},$ we have:
$\Delta_{1}=\left|\begin{array}{lll}b & q & y \\ c & r & z \\ a & p & x\end{array}\right|$
Applying $R_{1} \leftrightarrow R_{3}$ and $R_{2} \leftrightarrow R_{3},$ we have:
$\Delta_{1}=(-1)^{2}\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|......(2)$
$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ b & q & y\end{array}\right|$
Applying $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{3},$ we have:
$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}c & r & z \\ c+a & r+p & z+x \\ b & q & y\end{array}\right|$
Applying $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1},$ we have:
$\Delta_{2}=\left|\begin{array}{lll}c & r & z \\ a & p & x \\ b & q & y\end{array}\right|$
Applying $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$ and $R_{2} \leftrightarrow R_{3},$ we have:
$\Delta_{2}=(-1)^{2}\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
From $(1),(2),$ and $(3),$ we have:
$\Delta=2\left|\begin{array}{lll}a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z\end{array}\right|$
Hence, the given result is proved.
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$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}\,} \right| = $
$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}\,} \right| = $
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & y z \\ y & y^{2} & z x \\ z & z^{2} & x y\end{array}\right|=(x-y)(y-z)(z-x)(x y+y z+z x)$
माना कि $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ और $r, s \in\{1,2,3\}$ हैं। माना कि $P=\left[\begin{array}{cc}(-z)^r & z^{2 s} \\ z^{2 s} & z^r\end{array}\right]$ और $I$ दो कोटि (order $2$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। तब वे सभी क्रमित युग्म (ordered pairs) $(r, s)$, जिनके लिए $P^2=-I$ है, की कुल संख्या है
माना कि $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ और $r, s \in\{1,2,3\}$ हैं। माना कि $P=\left[\begin{array}{cc}(-z)^r & z^{2 s} \\ z^{2 s} & z^r\end{array}\right]$ और $I$ दो कोटि (order $2$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। तब वे सभी क्रमित युग्म (ordered pairs) $(r, s)$, जिनके लिए $P^2=-I$ है, की कुल संख्या है
- [IIT 2016]
यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2$ तथा $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ तो बहुपद $f(x)$ की घात होगी
यदि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = - 2$ तथा $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$ तो बहुपद $f(x)$ की घात होगी
- [AIEEE 2005]
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$