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यदि निम्न रैखिक समीकरण निकाय $2 x+2 a y+a z=0$, $2 x+3 b y+b z=0$, $2 x+4 c y+c z=0$ जहाँ $a , b , c \in R$ विभिन्न शून्येतर वास्तविक संख्याएँ है; का एक शून्येतर हल है, तो
$a , b , c$ समान्तर श्रेढी में है
$a + b + c = 0$
$a , b , c$ गुणोत्तर श्रेढी में हैं।
$\frac{1}{ a }, \frac{1}{ b }, \frac{1}{ c }$ समान्तर श्रेढी में है।
Solution
For non-zero solution
$\left|\begin{array}{ccc}{2} & {2 a} & {a} \\ {2} & {3 b} & {b} \\ {2} & {4 c} & {c}\end{array}\right|=0, \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc}{1} & {2 a} & {a} \\ {0} & {3 b-2 a} & {b-a} \\ {0} & {4 c-2 a} & {c-a}\end{array}\right|=0$
$\Rightarrow(3 b-2 a)(c-a)-(b-a)(4 c-2 a)=0$
$\Rightarrow 2 \mathrm{ac}=\mathrm{bc}+\mathrm{ab}$
$\Rightarrow \frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$
Hence $\frac{1}{\mathrm{a}}, \frac{1}{\mathrm{b}}, \frac{1}{\mathrm{c}}$ are in A.P.
