${\left( {\sqrt[3]{2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં જો ${7^{th}}$ મું પદ શરૂઆતથી અને અંતથી ${7^{th}}$ મું પદનો ગુણોતર $\frac{1}{6}$, તો $n = . . . .$

જો $\left(3^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{8}}\right)^{\text {n }}$ ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાક પદોની સંખ્યા $33$ હોય તો $n$ ની ન્યૂનતમ કિમત શોધો.

${({y^{ - 1/6}} - {y^{1/3}})^9}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.

બતાવો કે $(1+x)^{2 n}$ ના વિસ્તરણના મધ્યમ પદનો સહગુણક એ $(1+x)^{2 n-1}$ ના વિસ્તરણનાં મધ્યમ પદોના સહગુણકોના સરવાળા જેટલો છે.

જો ${(1 + x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં ${5^{th}}$, ${6^{th}}$ અને ${7^{th}}$ પદના સહગુણક સમાંતર શ્રેણી માં હોય તો $n =$ . . .

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$ નું દ્રીપદી વિસ્તરણ એ $2^{(x-2) \log _2 3}$ની વધતી ધાતમાં લઈએ,તો તેનું છઠ્ઠું પદ $21$ છે.જો આ દ્રીપદી વિસ્તરણના બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણી ણા પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમાં પદો હોય,તો $x$ની શક્ય તમામ કિમતોના વર્ગોનો સરવાળો $..............$ છે.