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केप्लर के तृतीय नियम के अनुसार, सूर्य की परिक्रमा करते हुए किसी ग्रह का परिक्रमण काल $(T)$ सूर्य और उस ग्रह के बीच की औसत दुरी $r$ की तर्तीय घात के समानुपाती होता है।
अर्थात $T^2=K r^3$
जहाँ, $K$ एक स्थिरांक है
यदि सूर्य तथा ग्रह के द्रव्यमान क्रमश: $M$ तथा $m$ है तो न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम के अनुसार इसके बीच गुरुत्वाकर्षण बल का मान $F =G M \frac{m}{r^2}$, होता है। जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, तो $G$ तथा $K$ के बीच संबंध है
$GK=4$${\pi ^2}$
$GMK=4$${\pi ^2}$
$K=G$
$K=$$\frac{1}{G}$
Solution
Gravitational force of attraction between sun and planet provides centripetal force for the orbit of planet.
$\therefore \frac{{GMm}}{{{r^2}}} = \frac{{m{v^2}}}{r}\,;\,{v^2} = \frac{{GM}}{r}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( i \right)$
Time period of the planet is given by
$T = \frac{{2\pi r}}{v},{T^2} = \frac{{4{\pi ^2}{r^2}}}{{{v^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}{r^2}}}{{\left( {\frac{{GM}}{r}} \right)}}$ $(Using\,\,(i))$
${T^2} = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{GM}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( {ii} \right)$
According to question,
${T^2} = K{r^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( {iii} \right)$
Comparing equation $(ii)$ and $(iii)$, we get
$K = \frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}}\,\,\,\therefore GMK = 4{\pi ^2}$