- Home
- Standard 12
- Mathematics
જો $A$ અને $B$ એ વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જે $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha &0\\
0&\beta
\end{array}} \right]$ અને $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&\gamma \\
\delta &0
\end{array}} \right]$ ના સ્વરૂપમાં અનુક્રમે આપેલ છે .
વિધાન $-1$ : $AB - BA$ એ હમેશા સામાન્ય શ્રેણિક છે .
વિધાન $-2$ : $AB -BA$ એ એકમ શ્રેણિક શક્ય નથી.
વિધાન $- 1$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ ખોટું છે.
વિધાન $- 1$ ખોટું છે. વિધાન$- 2$ સાચું છે.
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
Solution
Let $A$ and $B$ be real matrices such that
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha &0\\
0&\beta
\end{array}} \right]$ and $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&\lambda \\
\delta &0
\end{array}} \right]$
Now, $AB = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{\alpha \gamma }\\
{\beta \delta }&0
\end{array}} \right]$
and $BA = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{\gamma \beta }\\
{\delta \alpha }&0
\end{array}} \right]$
Statement – $1$:
$AB – BA = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{\gamma \left( {\alpha – \beta } \right)}\\
{\delta \left( {\beta – \alpha } \right)}&0
\end{array}} \right]$
$\left| {AB – BA} \right| = {\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\delta \ne 0$
$\therefore AB – BA$is always an invertible matrix.
Hence, statement – $1$ is true.
But $AB – BA$ can be identity matrix if $\gamma = – \delta $ or $\delta = – \gamma $
So, statement – -$2$ is false.
