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मान लीजिए कि $A =\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$ हो तो दिखाइए कि सभी $n \in N$ के लिए $(a I +b A )^{n}=a^{n} I +n a^{n-1} b A ,$ जहाँ $I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है।
Solution
It is given that $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
To show: $\mathrm{P}(n)$ $:(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A, n \in N$
We shall prove the result by using the principal of mathematical induction. For $n=1,$ we have:
$P(1):(a I+b A)=a I+b a^{\circ} A=a I+b A$
Therefore, the result is true for $n=1$
Let the result be true for $n=k$
That is,
$P(k):(a I+{b} A)^{k}=a^{k} I+k a^{k \cdot \cdot} {b} A$
Now, we prove that the result is true for $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{k}+1$ Consider
$(a I+b A)^{k-1} =(a I+b A)^{k}(a I+b A)$
$=\left(a^{k} I+k a^{k-1} b A\right)(a I+b A)$
$=a^{k-1}+k a^{k} b A I+a^{k} b I A+k a^{k-1} b^{2} A^{2}$
$=a^{k-1} I+(k+1) a^{k} b A+k a^{k-1} b^{2} A^{2} $ ………. $(1)$
Now, $A^{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=0$
From $(1)$, we have :
$(a I+b A)^{k+1}=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A+0$
$=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A$
Therefore, the result is true for $n=k+1$.
Thus, by the principal of mathematical induction, we have:
$(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A$ where $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], n \in \mathrm{N}$
Similar Questions
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ $x, y,$ तथा $z$ का उत्पादन करता है जिन का वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:
बाज्ञार | $x$ | उत्पादन | $z$ |
$I$ | $10,000$ | $2,000$ | $18,000$ |
$II$ | $6,000$ | $20,000$ | $8,000$ |
यदि $x, y$ तथा $z$ की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: $Rs.\, 2.50, Rs.\, 1.50$ तथा $Rs.\, 1.00$ है तो प्रत्येक बाज़ार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।