माना I, कोटि $2 \times 2$ का तत्समक आव्यूह है तथा $P =\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 5 & -3\end{array}\right]$ है। तो $n \in N$ का वह मान, जिसके लिए $Pn =5 I -8 P$ है, बराबर है

माना $A =\left[ a _{ ij }\right]$ एक $3 \times 3$ का आव्यूह है, जहाँ

$a _{ ij }=\left\{\begin{array}{cl}1, & \text { if } i = j \text { } \\ – x , & \text { if }| i – j |=1 \text { } \\ 2 x +1, & \text { otherwise }\end{array}\right.$ माना एक फलन $f : R \rightarrow R , f ( x )=\operatorname{det}( A )$ द्वारा परिभाषित है। तो $R$ पर $f$ के अधिकतम तथा निम्नतम मानों का योगफल बराबर है 

माना $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3\right]$ हैं, जहाँ $\mathrm{B}_1, \mathrm{~B}_2, \mathrm{~B}_3$ स्तंभ आव्यूह हैं तथा $\mathrm{AB}_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$ $\mathrm{AB}_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right], \mathrm{AB}_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$ है। यदि $\alpha=|\mathrm{B}|$ तथा $B$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $\beta$ है, तो $\alpha^3+\beta^3$ बराबर है …………….|

निम्नलिखित को परिकलित कीजिए

:$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
  {{a^2} + {b^2}}&{{b^2} + {c^2}} \\ 
  {{a^2} + {c^2}}&{{a^2} + {b^2}} 
\end{array}} \right]$ $ + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {2ab}&{2bc} \\ 
  { – 2ac}&{ – 2ab} 
\end{array}} \right]$

किसी व्यापार संघ के पास $30,000$ रूपयों का कोष है जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर $5 \%$ वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर $7 \%$ वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि $30,000$ रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज $Rs.$ $1800$ हो।