माना P =left[begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 2 & 0 & α 3 & -5 & 0end{a

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

माना $P =\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & \alpha \\ 3 & -5 & 0\end{array}\right]$ है, जबकि $\alpha \in R$ है। माना $Q =\left[ q _{ ij }\right]$ एक आव्यूह है, जिसके लिए $PQ = kI _{3}$, किसी शून्येतर, $k \in K$ के लिए, है। यदि $q _{23}=-\frac{ k }{8}$ तथा $| Q |=\frac{ k ^{2}}{2}$ है, तो $\alpha^{2}+ k ^{2}$ बराबर है

A

$17$

B

$21$

C

$13$

D

$19$

(JEE MAIN-2021)

Solution

$PQ = kI$

$| P | \cdot| Q |= k ^{3}$

$\Rightarrow| P |=2 k \neq 0 \Rightarrow P$ is an invertible matrix

$\because PQ = kI$

$\therefore Q=k P^{-1} I$

$\therefore Q=\frac{\text { adj.P }}{2}$

$\because q _{23}=-\frac{ k }{8}$

$\therefore \frac{-(3 \alpha+4)}{2}=-\frac{ k }{8} \Rightarrow k =4$

$\therefore| P |=2 k \Rightarrow k =10+6 \alpha \ldots( i )$

Put value of $k$ in (i).. we get $\alpha=-1$

Standard 12

Mathematics

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यदि $A =\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ तथा $B =\left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right]$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि

$(A+B)^{\prime}=A^{\prime}+B^{\prime}$

easy

माना $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}\right]$ तथा $\mathrm{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -\mathrm{i} \\ 0 & 1\end{array}\right]$, है, जहां $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$. है। यदि $\mathrm{M}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{BA}$ है, तो आव्यूह $\mathrm{AM}^{2023} \mathrm{~A}^{\mathrm{T}}$ का व्युत्क्रम है –

hard

(JEE MAIN-2023)

यदि $A = \left( {\begin{array}{{20}{c}}1&{ – 2}&1\\2&1&3\end{array}} \right)$ और $B = \left( {\begin{array}{{20}{c}}2&1\\3&2\\1&1\end{array}} \right)$, तो ${(AB)^T}$ का मान होगा

easy

यदि $ A$ वर्ग आव्यूह है, तो $A + {A^T}$ होगा

easy

माना$A = \left[ {\begin{array}{{20}{c}}4&6&{ – 1}\\3&0&2\\1&{ – 2}&5\end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{{20}{c}}2&4\\0&1\\{ – 1}&2\end{array}} \right]$ और $C = [3\,\,1\,\,2]$, तो निम्न में से कौन सा परिभाषित नहीं है

easy