અહી A =left[begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 1 & -1 & 0end{arra

English

Gujarati

Hindi

3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

અહી $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]$ અને $B = A - I$ છે. જો $\omega=\frac{\sqrt{3} i -1}{2}$ હોય તો ગણ $\left\{ n \in\{1,2, \ldots, 100\}: A ^{ n }+(\omega B )^{ n }= A + B \right\}$ ના ઘટકોની સંખ્યા $..........$ થાય.

A

$17$

B

$15$

C

$14$

D

$13$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A^{2}=A \Rightarrow A^{n}=A$

Now, $B = A – I =\left[\begin{array}{lll}1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right]$

$B ^{2}=- B$

$B ^{3}=- B ^{2}= B$

$B ^{5}= B$

$B ^{99}= B$

Also, $\omega^{31}=1$

So, $n =$ common of $\{1,3,5, \ldots, 99\}$ and

$\{3,6,9, \ldots, 99\}=17$

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

જો $A = \left[ {\begin{array}{{20}{c}}
p&{13}\\
{ – 13}&p
\end{array}} \right]$ અને $B = \left[ {\begin{array}{{20}{c}}
{4q}&{85}\\
{ – 2}&1
\end{array}} \right]$ કે જ્યાં $p,q \in N$ છે અને $\left| A \right| = \left| B \right|$ અને $p,q \in[1,1000]$ આપેલ હોય તો $(p,q)$ ની કુલ ક્રમયુક્ત જોડની મેળવો.

normal

શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&\lambda &{ – 4}\\{ – 1}&3&4\\1&{ – 2}&{ – 3}\end{array}} \right]$ એ સામાન્ય શ્રેણિક હોય હોય તો . .

easy

જો $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\tan \theta /2}\\{ – \tan \theta /2}&1\end{array}} \right]$ અને $AB = I$, તો $B = $

easy

જો $a$ , $b$ , $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા ન હોય અને સમીકરણ $x^5 = 1$ નું પાલન કરે છે અને ગણ $S$ એ અસમાન્ય શ્રેણીકો કે જે $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a&b \\
w&1&c \\
{{w^2}}&w&1
\end{array}} \right],\,\,\,\,w = {e^{\frac{{i\,2\pi }}{5}}}$ ના સ્વરૂપમાં હોય તો ગણ $S$ માં રહેલા ભિન્ન શ્રેણિકની સંખ્યા મેળવો.

normal

જો $2X + \left[ {\begin{array}{{20}{c}}1&2\\3&4\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{{20}{c}}3&8\\7&2\end{array}} \right]$ તો શ્રેણિક $X$ મેળવો.

easy