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मान लीजिये की $n \geq 3$ एक प्राकृत संख्या है। दी गयी संख्याओं की सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का औसत तथा मानक विचलन क्रमानुसार $\mu$ और $\sigma$ है। एक नयीसंख्याओं की सूची $y_1, y_2, \ldots, y_n$ इस प्रकार बनाई जाती हैं कि $y_1=\frac{x_1+x_2}{2}, y_2=\frac{x_1+x_2}{2}$ और प्रत्येक $j=3,4, \ldots, n$ के लिए $y_j=x_j$ । यदि नयी सूची का औसत तथा मानक विचलन क्रमानुसार $\hat{\mu}$ और $\hat{\sigma}$ है तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य है?
$\mu=\hat{\mu}$ और $\sigma \leq \hat{\sigma}$
$\mu=\hat{\mu}$ और $\sigma \geq \hat{\sigma}$
$\sigma=\hat{\sigma}$
$\mu \neq \hat{\mu}$
Solution
(b)
Given,
$\mu=\frac{\sum x_i}{n}$
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum x_1^2}{n}-(\mu)^2}$
$\hat{\mu}=\frac{\Sigma y_i}{n}$
$=\frac{\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{x_1+x_2}{2}+x_3+x_4+\ldots+x_n}{n}$
$\hat{\mu}=\frac{x_1+x_2+x_3 \ldots+x_n}{n}=\frac{\Sigma x_i}{n}=\mu$
$\sigma=\sqrt{\frac{\sum y_1^2}{n}-\left(\mu^{\prime}\right)^2}=\sqrt{\frac{\sum y_1^2}{n}-\mu^2}$
$\sum x_1^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+\ldots+x_n^2$
$\sum y_1^2=$
$\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{4}+\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{4}+x_3^2+x_4^2+\ldots+x_n^2$
$\Sigma x_1^y-\Sigma y_1^2=x_1^2+x_2^2-2 x_1 x_2=\left(x_1-x_2\right)^2 \geq 0$
$\sum x_1^2 \geq \Sigma y_1^2$
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निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए माध्य व प्रसरण ज्ञात कीजिए।
| वर्ग | $0-10$ | $10-20$ | $20-30$ | $30-40$ | $40-50$ |
| बारंबारता | $5$ | $8$ | $15$ | $16$ | $6$ |
