ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ, સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ વાળી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ છે, જેના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A , A +1, A +2$ છે. ધારો કે $A _1, A _2, A _3$ ના $7$મા, $9$મા, $17$મા પદો અનુક્રમે $a, b, c$ છે, જ્યાં $\left|\begin{array}{ccc}a & 7 & 1 \\ 2 b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0.$ જો $a=29$ હોય તો, જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ હોય અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $...........$ છે.

જો $\alpha ,\beta \ne 0$ અને $f\left( n \right) = {\alpha ^n} + {\beta ^n}$ તથા $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}\\{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}\\{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}&{1 + f\left( 4 \right)}\end{array}} \right|\; = K{\left( {1 - \alpha } \right)^2}$ ${\left( {1 - \beta } \right)^2}{\left( {\alpha - \beta } \right)^2}$ ,તો $K=$ . . . . . .

જો $\omega $ એકનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય , તો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{b{\omega ^2}}&{a\omega }\\{b\omega }&c&{b{\omega ^2}}\\{c{\omega ^2}}&{a\omega }&c\end{array}\,} \right|$ મેળવો.

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 - x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}\,} \right|$ = . . .

જો $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x ^{3}+ ax ^{2}+ bx + c =0,( a , b , c \in R$ અને  $a , b \neq 0)$ ના બીજ છે અને સમીકરણો ($u,v,w$ ના ચલમાં)  $\alpha u+\beta v+\gamma w=0, \beta u+\gamma v+\alpha w=0$ $\gamma u +\alpha v +\beta w =0$ એ શૂન્યતર ઉકેલ ધરાવે છે તો  $\frac{a^{2}}{b}$ ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&x\\{p + 1}&{p + 1}&{p + x}\\3&{x + 1}&{x + 2}\end{array}\,} \right| = 0$ નો ઉકેલ મેળવો.