કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત્ વિધુતભાર $\mathrm{q}$ ને ઘેરતા $\mathrm{r}$ ત્રિજ્યાના ગોળામાંથી પસાર થતાં ફલક્સ પરથી ગાઉસનો નિયમ મેળવો.

કેન્દ્ર પર રહેલા બિદુવત્ વિદ્યુતભાર $q$ ને ધેરતાં $r$ ત્રિજ્યાનો ગોળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે.

આ ગોળાને ઘણાં સૂક્ષ્મ ખંડોમાં વિભાજિત કરો તેમાંના એક $\Delta S$ ખંડમાંથી પસાર થતું ફલક્સ,

$\Delta \phi=\overrightarrow{ E } \cdot \Delta \overrightarrow{ S }=\overrightarrow{ E } \cdot \hat{\vec{r}} \Delta S$

જ્યાં $\hat{r}=$ કેન્દ્રથી ક્ષેત્રફળ ખંડ તરફના ત્રિજ્યા સદ્દિશની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.

$= E \Delta \operatorname{scos} \theta \quad[\because|\hat{r}|=1]$

પણ $E =\frac{k q}{r^{2}}$

$\therefore \Delta \phi=\frac{k q}{r^{2}} \Delta S \quad \ldots (1)$

$\left[\because \overrightarrow{ E }\right.$ અને $\overrightarrow{\Delta S }$ એક જ દિશામાં છે તેથી $\left.\theta=0^{\circ}\right]$

ગોળામાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ દરેક ક્ષેત્રફળ ખંડોને લીધે મળતા ફ્લક્સના સરવાળા જેટલું છે.

$\therefore \phi=\sum_{\Delta S} \frac{k q}{r^{2}} \cdot \Delta S$

ગોળાનો દરેક ક્ષેત્રફળ ખંડ, વિદ્યુતભારથી સમાન $r$ સંતરે છે.

$\therefore \phi=\frac{k q}{r^{2}} \sum_{\Delta S } \Delta S$

$\therefore \phi=\frac{k q}{r^{2}} S \quad(\because \Sigma \Delta S = S )$

પણ $S =4 \pi r^{2}$

$\therefore \phi=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \times 4 \pi r^{2} \quad\left[\because k=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\right]$

$\therefore \phi=\frac{q}{\epsilon_{0}} \quad \ldots (2)$