કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :

$(a)$ બતાવો કે $p = p_i^{\prime}  + {m_i}V$

જ્યાં ${p_i}$ એ $i$ મા કણ ( ${m_i}$ દળના)નું વેગમાન અને $p_i^{\prime}  = {m_i}v_i^{\prime} $

નોંધ $v_i^{\prime} $ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$ મા કણનો વેગ છે.

આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum {p_i^{\prime} }  = 0$

$(b)$ બતાવો કે $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$

જ્યાં $K$ એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા છે. $K'$ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને $M V^{2} / 2$ એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ ઊર્જા છે. (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ). આ પરિણામ પરિચ્છેદ માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.

$(c)$ દર્શાવો કે $L = L ^{\prime}+ R \times M V$ છે.

જ્યાં $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો $r _{i}^{\prime}= r _{i}- R$; બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે. નોંધો $L'$ અને $M R \times V$ એ અનુક્રમે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે. 

$(d)$ બતાવો કે : = $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{i}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$

વધુમાં, દર્શાવો કે $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$

જ્યાં $\tau_{c t t}^{\prime}$ એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સરવાળો છે. (સૂચના : દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)

$(a)$Take a system of $i$ moving particles.

Mass of the $i^{th}$ particle $=m_{i}$

Velocity of the $i^{\text {th}}$ particle $= v _{i}$

Hence, momentum of the $i^{\text {th}}$ particle, $p _{i}=m_{i} v _{i}$

Velocity of the centre of mass $= V$

The velocity of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the system is given

as: $v ^{\prime}_{i}= v _{i}- V \ldots(1)$

Multiplying $m_{i}$ throughout equation $(1)$, we get:

$m_{i} v ^{\prime}_{i}=m_{i} v _{i}-m_{i} V$

$p ^{\prime}_{i}= p _{i}-m_{i} V$

Where,

$p _{i}^{\prime}=m_{i} v _{i}^{\prime}=$ Momentum of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the

system $: p _{i}= p ^{\prime} i+m_{i} V$

We have the relation: $p ^{\prime} i=m_{i} v _{i}$

Taking the summation of momentum of all the particles with respect to the centre of mass of the system, we get:

$\sum_{i} p _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} \frac{d r _{i}^{\prime}}{d t}$

Where,

$r ^{\prime}=$ Position vector of $i$ th particle with respect to the centre of mass $v _{t}^{\prime}=\frac{d r ^{\prime}}{d t}$

As per the definition of the centre of mass, we have:

$\sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$

$\therefore \sum \limits _{i} m_{i} \frac{d r ^{\prime}}{d t}=0$

$\sum \limits _{i} p _{i}^{\prime}=0$

We have the relation for velocity of the $i^{\text {th }}$ particle as:

$v _{i}= v ^{\prime} i+ V$

$\sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}+\sum_{i} m_{i} V$

Taking the dot product of equation (2) with itself, we get:

$\sum_{i} m_{i} v _{i}, \sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right) \cdot \sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right)$

$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} \sum_{i} v _{i} v _{i}^{\prime}+M^{2} \sum_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}+M^{2} V^{2}$

Here, for the centre of mass of the system of particles,

$\sum\limits_{i} v _{i} v ^{\prime}_i=-\sum\limits_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}$

$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} V^{2}$

$\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime 2}+\frac{1}{2} M V^{2}$

$K=K^{\prime}+\frac{1}{2} M V^{2}$

Where,

$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=$ Total kinetic energy of the system of particles

$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime \prime 2}=$ Total kinetic energy of the system of particles with respect to the centre of mass

$\frac{1}{2} M V^{2}$

- Kinetic energy of the translation of the system as a whole

Position vector of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to origin $= r _{i}$

Position vector of the $i$ "particle with respect to the centre of mass $= r ^{\prime} i$

Position vector of the centre of mass with respect to the origin $= R$

It is given that: $r ^{\prime} i= r i$

$- R r _{i}= r _{i}+ R$ We

have from part (a), pi

$= p ^{\prime} i+m i V$

Taking the cross product of this relation by $r _{i},$ we get:

$\sum_{i} r _{i} \times p _{i}=\sum_{i} r _{i} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i} \times m_{i} V$

$L =\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times p _{i}^{\prime}+\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times m_{i} V$

$=\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$

$= L ^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$

Where,

$R \times \sum_{i} p _{i}^{\prime}=0$ and

$\left(\sum_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times M V = 0$

$\sum_{t} m_{i}=M$

$\therefore L = L ^{\prime}+R \times M V$

We have the relation:

$L ^{\prime}=\sum r ^{\prime}, \times p ^{\prime}$

$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\sum r ^{\prime} \times p ^{\prime}\right)$

$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{t} r _{t}^{\prime}\right) \times p _{i}^{\prime}+\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i} m_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times v _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

Where, $r ^{\prime}$, is the position vector with respect to the centre of mass of the system of particles. $\therefore \sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$

$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

We have the relation:

$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{i} r ^{\prime}, \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

$=\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$

Where, $\frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$ is the rate of change of velocity of the $i$ th particle

with respect ot the centre of mass of the system

Therefore, according to Newton's third law of motion, we can write:

$m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=$ Extrenal force acting on the $i$ th particle $=\sum_{i}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)$

i.e., $\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=\tau_{ ea }^{\prime}=$ External torque acting on the system as a whole

$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau^{\prime}_{ext }$