कणों के किसी निकाय की गति को इसके द्रव्यमान केन्द्र की गति और द्रव्यमान केन्द्र के परित: गति में अलग-अलग करके विचार करना। दर्शाइये कि-

$(a)$ $p = p _{i}^{\prime}+m_{i} V$, जहाँ ( $m_i$, द्रव्यमान वाले) $i-$ वें कण का संवेग है, और $p _{i}^{\prime}=m_{i} v _{i}^{\prime} \mid$ ध्यान द्द कि $v_i^{\prime} $, द्रव्यमान केन्द्र के 

सापेक्ष $i-$ वें कण का वेग है। द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए कि $\sum p _{i}^{\prime}=0$

$(b)$ $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$

$K$ कणों के निकाय की कुल गतिज ऊर्जा, $K ^{\prime}=$ निकाय की कुल गतिज ऊर्जा जबकि कणों की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष ली जाय। $M V^{2} / 2$ संपूर्ण निकाय के (अर्थात् निकाय के द्रव्यमान केन्द्र के ) स्थानान्तरण की गतिज ऊर्जा है। इस परिणाम का उपयोग भाग में किया गया है।

$(c)$ $L = L ^{\prime}+ R \times M V$

जहाँ $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ द्रव्यमान के परित: निकाय का कोणीय संवेग है जिसकी गणना में वेग द्रव्यमान केन्द्र के सापेक्ष मापे गये हैं। याद कीजिए $r _{t}^{\prime}= r _{t}- R$; शेष सभी चिह्न अध्याय में प्रयुक्त विभिन्न राशियों के मानक चिह्न हैं। ध्यान दें कि $L$ ' द्रव्यमान केन्र के परितः निकाय का कोणीय संवेग एवं $M R \times V$ इसके द्रव्यमान केन्द्र का कोणीय संवेग है।

$(d)$ $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{t}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$

यह भी दर्शाइये कि $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$

(जहाँ $\tau_{\text {ext }}^{\prime}$ द्रव्यमान केन्द्र के परित: निकाय पर लगने वाले सभी बाहय बल आघूर्ण हैं।) [ संकेत : द्रव्यमान केन्द्र की परिभाषा एवं न्यूटन के गति के तृतीय नियम का उपयोग कीजिए। यह मान लीजिए कि किन्ही दो कणों के बीच के आन्तरिक बल उनको मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं।]

$(a)$Take a system of $i$ moving particles.

Mass of the $i^{th}$ particle $=m_{i}$

Velocity of the $i^{\text {th}}$ particle $= v _{i}$

Hence, momentum of the $i^{\text {th}}$ particle, $p _{i}=m_{i} v _{i}$

Velocity of the centre of mass $= V$

The velocity of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the system is given

as: $v ^{\prime}_{i}= v _{i}- V \ldots(1)$

Multiplying $m_{i}$ throughout equation $(1)$, we get:

$m_{i} v ^{\prime}_{i}=m_{i} v _{i}-m_{i} V$

$p ^{\prime}_{i}= p _{i}-m_{i} V$

Where,

$p _{i}^{\prime}=m_{i} v _{i}^{\prime}=$ Momentum of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to the centre of mass of the

system $: p _{i}= p ^{\prime} i+m_{i} V$

We have the relation: $p ^{\prime} i=m_{i} v _{i}$

Taking the summation of momentum of all the particles with respect to the centre of mass of the system, we get:

$\sum_{i} p _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}=\sum_{i} m_{i} \frac{d r _{i}^{\prime}}{d t}$

Where,

$r ^{\prime}=$ Position vector of $i$ th particle with respect to the centre of mass $v _{t}^{\prime}=\frac{d r ^{\prime}}{d t}$

As per the definition of the centre of mass, we have:

$\sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$

$\therefore \sum \limits _{i} m_{i} \frac{d r ^{\prime}}{d t}=0$

$\sum \limits _{i} p _{i}^{\prime}=0$

We have the relation for velocity of the $i^{\text {th }}$ particle as:

$v _{i}= v ^{\prime} i+ V$

$\sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i} v _{i}^{\prime}+\sum_{i} m_{i} V$

Taking the dot product of equation (2) with itself, we get:

$\sum_{i} m_{i} v _{i}, \sum_{i} m_{i} v _{i}=\sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right) \cdot \sum_{i} m_{i}\left( v _{i}^{\prime}+ v \right)$

$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} \sum_{i} v _{i} v _{i}^{\prime}+M^{2} \sum_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}+M^{2} V^{2}$

Here, for the centre of mass of the system of particles,

$\sum\limits_{i} v _{i} v ^{\prime}_i=-\sum\limits_{i} v _{i}^{\prime} v _{i}$

$M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}=M^{2} \sum_{i} v_{i}^{2}+M^{2} V^{2}$

$\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime 2}+\frac{1}{2} M V^{2}$

$K=K^{\prime}+\frac{1}{2} M V^{2}$

Where,

$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{2}=$ Total kinetic energy of the system of particles

$K= \frac{1}{2} M \sum_{i} v_{i}^{\prime \prime 2}=$ Total kinetic energy of the system of particles with respect to the centre of mass

$\frac{1}{2} M V^{2}$

- Kinetic energy of the translation of the system as a whole

Position vector of the $i^{\text {th }}$ particle with respect to origin $= r _{i}$

Position vector of the $i$ "particle with respect to the centre of mass $= r ^{\prime} i$

Position vector of the centre of mass with respect to the origin $= R$

It is given that: $r ^{\prime} i= r i$

$- R r _{i}= r _{i}+ R$ We

have from part (a), pi

$= p ^{\prime} i+m i V$

Taking the cross product of this relation by $r _{i},$ we get:

$\sum_{i} r _{i} \times p _{i}=\sum_{i} r _{i} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i} \times m_{i} V$

$L =\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times p _{i}^{\prime}+\sum\left( r _{i}^{\prime}+ R \right) \times m_{i} V$

$=\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$

$= L ^{\prime}+\sum_{i} R \times p _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times m_{i} V +\sum_{i} R \times m_{i} V$

Where,

$R \times \sum_{i} p _{i}^{\prime}=0$ and

$\left(\sum_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times M V = 0$

$\sum_{t} m_{i}=M$

$\therefore L = L ^{\prime}+R \times M V$

We have the relation:

$L ^{\prime}=\sum r ^{\prime}, \times p ^{\prime}$

$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\sum r ^{\prime} \times p ^{\prime}\right)$

$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{t} r _{t}^{\prime}\right) \times p _{i}^{\prime}+\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

$=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i} m_{i} r _{i}^{\prime}\right) \times v _{i}^{\prime}+\sum_{i} r _{i}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

Where, $r ^{\prime}$, is the position vector with respect to the centre of mass of the system of particles. $\therefore \sum m_{i} r _{i}^{\prime}=0$

$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{t} r _{t}^{\prime} \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

We have the relation:

$\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum_{i} r ^{\prime}, \times \frac{d}{d t}\left( p _{i}^{\prime}\right)$

$=\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$

Where, $\frac{d}{d t}\left( v ^{\prime}\right)$ is the rate of change of velocity of the $i$ th particle

with respect ot the centre of mass of the system

Therefore, according to Newton's third law of motion, we can write:

$m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=$ Extrenal force acting on the $i$ th particle $=\sum_{i}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)$

i.e., $\sum_{i} r ^{\prime}, \times m_{i} \frac{d}{d t}\left( v _{i}^{\prime}\right)=\tau_{ ea }^{\prime}=$ External torque acting on the system as a whole

$\therefore \frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau^{\prime}_{ext }$