$(a)$ सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के $x -$अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं|
$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$
$(b)$ सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान $\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$ होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य हैं।
Let $v_{0 x }$ and $v_{0y }$ respectively be the initial components of the velocity of the projectile along horizontal $(x)$ and vertical $(y)$ directions.
Let $v_{x}$ and $v_{y}$ respectively be the horizontal and vertical components of velocity at a point $P$
Time taken by the projectile to reach point $P =t$ Applying the first equation of motion along the vertical and horizontal directions, we get $v_{y}=v_{0 y}= g t$
And $v_{x}=v_{0 x}$
$\therefore \tan \theta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0 y}- g t}{v_{0 x}}$
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$
Maximum vertical height, $h_{ m }=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{2 g }$
Horizontal range, $\quad R=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{g}$
Solving equations $(i)$ and $(ii)$, we get:
$-\frac{h_{ m }}{R}=\frac{\sin ^{2} \theta}{2 \sin ^{2} \theta}$
$=\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{2 \times 2 \sin \theta \cos \theta}$
$=\frac{1}{4} \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{4} \tan \theta$
$\tan \theta=\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$
एक कण $R$ त्रिज्या के वृत्त में समान चाल से गति करते हुए एक चक्कर पूरा करने में $\mathrm{T}$ समय लेता है।
यदि यही कण क्षैतिज से उसी चाल से कोण ' $\theta$ ' पर प्रक्षेपित किया जाए, तो $4 \mathrm{R}$ के बराबर अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करता है। प्रक्षेपण कोण $'\theta'$ दिया जाता है :
एक $10\, m$ ऊँची इमारत की छत पर खेल रहा एक लड़का एक गेंद को $30^o$ के कोण पर क्षैतिज के साथ $10\, m/s$ की गति से फेंकता है। ........ $m$ फेंकने के बिंदु से दूर गेंद जमीन से $10\, m$ की ऊंचाई पर होगी। $(g \,= \,10 m/s^2, \,sin \,30^o \,= \,\frac{1}{2}$, $\cos \,{30^o}\, = \,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$)
एक गेंद जिसकी गतिज ऊर्जा E है, क्षैतिज से $45°$ पर फेंकी जाती है। इसकी उड़ान के दौरान उच्चतम बिन्दु पर गतिज ऊर्जा होगी
एक प्रक्षेप्य के लिए, अधिकतम ऊँचाई एवं उड्डयन काल के वर्ग का अनुपात है ($g = 10 ms^{-2}$)
एक वस्तु क्षैतिज से $45^°$ का कोण बनाते हुये प्रक्षेपित की जाती है, तो वस्तु की क्षैतिज परास होगी