$(a)$ सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के $x -$अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं|
$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$
$(b)$ सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान $\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$ होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य हैं।
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$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$
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Let $v_{0 x }$ and $v_{0y }$ respectively be the initial components of the velocity of the projectile along horizontal $(x)$ and vertical $(y)$ directions.
Let $v_{x}$ and $v_{y}$ respectively be the horizontal and vertical components of velocity at a point $P$
Time taken by the projectile to reach point $P =t$ Applying the first equation of motion along the vertical and horizontal directions, we get $v_{y}=v_{0 y}= g t$
And $v_{x}=v_{0 x}$
$\therefore \tan \theta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0 y}- g t}{v_{0 x}}$
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$
Maximum vertical height, $h_{ m }=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{2 g }$
Horizontal range, $\quad R=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{g}$
Solving equations $(i)$ and $(ii)$, we get:
$-\frac{h_{ m }}{R}=\frac{\sin ^{2} \theta}{2 \sin ^{2} \theta}$
$=\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{2 \times 2 \sin \theta \cos \theta}$
$=\frac{1}{4} \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{4} \tan \theta$
$\tan \theta=\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$
$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$
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दो पिण्डों को $40 \mathrm{~ms}^{-1}$ की समान चाल से क्षेतिज से अलग-अलग कोणों पर धरातल से प्रक्षेपित किया जाता है। दोनों पिण्डों द्वारा तय की गई परास समान है। यदि एक पिण्ड क्षैतिज से $60^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो दोनों प्रक्षेप्यों द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाईयों का योग ________________ m है। (दिया है $\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2}$ )
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दो प्रक्षेप, क्षैतिज से क्रमश $30^{\circ}$ एवं $45^{\circ}$ के कोणों पर प्रक्षेपित हैं, जो कि अपनी अधिकतम ऊँचाइयों पर समान समयों में पहुँचते हैं। उनके प्रारम्भिक वेगों का अनुपात है :
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$45°$ के प्रक्षेपण कोण के लिये किसी दिये गये वेग से प्रक्षेपित वस्तु की परास अधिकतम होती है। यह परास न्यूनतम होगी यदि प्रक्षेपण कोण ......... $^o$ है
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गैलीलियो के नियम अनुसार, यदि किसी पिण्ड को कोण $(45 + \theta )$ तथा $(45 - \theta )$पर प्रक्षेपित किया जाये, तो इनके द्वारा तय की गयी क्षैतिज परासों का अनुपात होगा (यदि $\theta \le 45^\circ $)
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किसी बन्दूक से एक गोली क्षैतिज से $30^{\circ}$ की दिशा में ऊपर की ओर $280\,m s ^{-1}$ की चाल से दागी जाती है। गोली द्वारा तय की गई अधिकतम ऊँचाई $.....\,m$ है:$\left( g =9.8\,m s ^{-2}, \sin 30^{\circ}=0.5\right):$
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