$(a)$ દર્શાવો કે કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $x$ -અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ ઊગમબિંદુ આગળથી પ્રલિપ્ત કરેલા પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ

$\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$

વડે અપાય છે તેમ સાબિત કરો. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $v_{0 x }$ and $v_{0y }$ respectively be the initial components of the velocity of the projectile along horizontal $(x)$ and vertical $(y)$ directions.

Let $v_{x}$ and $v_{y}$ respectively be the horizontal and vertical components of velocity at a point $P$

Time taken by the projectile to reach point $P =t$ Applying the first equation of motion along the vertical and horizontal directions, we get $v_{y}=v_{0 y}= g t$

And $v_{x}=v_{0 x}$

$\therefore \tan \theta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0 y}- g t}{v_{0 x}}$

$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

Maximum vertical height, $h_{ m }=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{2 g }$

Horizontal range, $\quad R=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{g}$

Solving equations $(i)$ and $(ii)$, we get:

$-\frac{h_{ m }}{R}=\frac{\sin ^{2} \theta}{2 \sin ^{2} \theta}$

$=\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{2 \times 2 \sin \theta \cos \theta}$

$=\frac{1}{4} \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{4} \tan \theta$

$\tan \theta=\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$

$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$

885-s42

Similar Questions

$1\, kg $ દળના એક દડાને ઉર્ધ્વ દિશામાં ઉપર ફેંકવામાં આવે છે. જે $3 \,seconds$ બાદ જમીન પર પરત ફરે છે. બીજા દડાને ઉર્ધ્વ સાથે $60^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે. તે પણ જમીન પર પરત ફરતા પહેલા તેટલો જ સમય હવામાં રહે છે. આ બંને ઊંચાઈઓનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

  • [NEET 2017]

પ્રારંભિક બિંદુ $A$ પર એક પ્રક્ષિપ્તનો વેગ $\left( {2\hat i + 3\hat j} \right)\;m/s $ છે. બિંદુ $B$ પર તેનો વેગ ($m/s$ માં) કેટલો હશે?

  • [AIPMT 2013]

આપેલી આકૃતિમાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે કયો વિકલ્પ યોગ્ય છે.

જમીન થી $45^o$ ના ખૂણે એક દડાને ફેંકતા તે સામે રહેલી દીવાલ ને ટપી જાય છે. જો પ્રક્ષેપન સ્થાન દીવાલ ના નીચલા ભાગ થી $4\,m$ દૂર હોય અને દડો દીવાલ ની સામેની બાજુ એ $6\,m$ દૂર જમીન પર અથડાય તો દીવાલની ઊંચાઈ  ........ $m$ હશે.

  • [JEE MAIN 2013]

એક બોલને સમાન વેગ $u$ અને સમાન બિંદુથી જુદા જુદા ખૂણા પર ફેંકવામાં આવે છે. તે બંને કિસ્સાઓમાં સમાન અવધિ મળે છે. જો $y_1$ અને $y_2$ એ બે કિસ્સાઓમાં પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ હોય, તો $y_1+y_2=$