$(a)$ દર્શાવો કે કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $x$ -અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ ઊગમબિંદુ આગળથી પ્રલિપ્ત કરેલા પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ

$\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$

વડે અપાય છે તેમ સાબિત કરો. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $v_{0 x }$ and $v_{0y }$ respectively be the initial components of the velocity of the projectile along horizontal $(x)$ and vertical $(y)$ directions.

Let $v_{x}$ and $v_{y}$ respectively be the horizontal and vertical components of velocity at a point $P$

Time taken by the projectile to reach point $P =t$ Applying the first equation of motion along the vertical and horizontal directions, we get $v_{y}=v_{0 y}= g t$

And $v_{x}=v_{0 x}$

$\therefore \tan \theta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0 y}- g t}{v_{0 x}}$

$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

Maximum vertical height, $h_{ m }=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{2 g }$

Horizontal range, $\quad R=\frac{u_{0}^{2} \sin ^{2} 2 \theta}{g}$

Solving equations $(i)$ and $(ii)$, we get:

$-\frac{h_{ m }}{R}=\frac{\sin ^{2} \theta}{2 \sin ^{2} \theta}$

$=\frac{\sin \theta \times \sin \theta}{2 \times 2 \sin \theta \cos \theta}$

$=\frac{1}{4} \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{4} \tan \theta$

$\tan \theta=\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$

$\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{ m }}{R}\right)$

885-s42

Similar Questions

એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ના ખૂણે $V$ વેગ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેની મહત્તમ ઊંચાઈ કરતા અડધી જેટલી ઊંચાઈ પર હોય તો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગનો શિરોલંબ દિશાનો ઘટક શું હશે ?

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની શરૂઆતની ગતિઊર્જા $100 \,J$ અને મહતમ ઊંચાઇએ ગતિઊર્જા $30 \,J$ કરતા હોય તો પ્રક્ષિપ્તકોણ કેટલો હશે?

પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થની અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે. પ્રક્ષેપણનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હશે?

  • [AIPMT 2012]

$40 \,m$ ની ઉંચાઈ ધરાવતી એક બિલ્ડીગ પરથી એક પદાર્થને $u =20 \,m / s$ ની ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણો પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. તો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતીજ અવધી ............. $m$ થાય.

સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ કોણે એક પ્રક્ષિપ્તા પદાર્થ $25\, m / s$ ના વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. $t$ સેકન્ડ બાદ તેનો સમક્ષિતિજ સાથેનો નમન શૂન્ય થાય છે. જો $R$ એ પ્રક્ષિપ્તની અવધિ દર્શાવતો હોય તો $\theta$ નું મૂલ્ય ........હશે.

$\left[ g =10 m / s ^{2} \text { }\right]$લો

  • [JEE MAIN 2022]