मान लें कि A=left[begin{array}{ll}a & b c & dend{array}right] एक वा?

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

मान लें कि $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ एक वास्तविक आव्यूह है, जिसके अवयव अशून्य है। यदि $a d-b c=0$ और $A^2=A$ है, तब $a+d$ निम्न के बराबर है :

A

$1$

B

$2$

C

$3$

D

$44$

(KVPY-2018)

Solution

(a)

We have

$\begin{aligned} A &=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \\ A^2 &=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \\ A^2 &=\left[\begin{array}{ll}a^2+b c & a b+b d \\ a c+c d & b c+d^2\end{array}\right] \end{aligned}$

Given, $A^2=A$ and $a d-b c=0$

$\therefore\left[\begin{array}{ll} a^2+b c & a b+b d \\ a c+c d & b c+d^2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]$

$a b+b d =b$

$b(a+d) =b$

$a+d =1$

Standard 12

Mathematics

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easy

यदि $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\0&0\end{array}} \right],I$ कोटि $2$ का तत्समक आव्यूह है और $a, b$ स्वेच्छ नियतांक हैं, तो ${(aI + bA)^2}$=

easy

दो किसान रामकिशन और गुरचरन सिंह केवल तीन प्रकार के चावल जैसे बासमती, परमल तथा नउरा की खेती करते हैं। दोनों किसानों द्वारा, सितंबर तथा अक्तूबर माह में, इस प्रकार के चावल की बिक्री (रूपयों में) को, निम्नलिखित $A$ तथा $B$ आव्यूहों में व्यक्त किया गया हैं:

सितंबर माह की बिक्री ($Rs.$ में )

$A=$  $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\text{ Basmati }}}&{{\text{ Permal }}}&{{\text{ Naura }}} \\
{10,000}&{20,000}&{30,000} \\
{50,000}&{30,000}&{10,000}
\end{array}} \right]\,$ $\begin{matrix}
{} \\
\mathrm {Ramkrishan} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
  \mathrm {Gurcharan}\,\, \mathrm {Singh} \\
\end{matrix}$

अक्तूबर माह की बिक्री ($Rs.$ में)

$B=\left[\begin{array}{ccc}\text { Basmati } & \text { Permal } & \text { Naura } \\ 5000 & 10,000 & 6000 \\ 20,000 & 10,000 & 10,000\end{array}\right]$ $\begin{matrix}
{} \\
  \mathrm {Ramkrishan} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\mathrm {Gurcharan}\,\,\mathrm {Singh} \\
\end{matrix}$

$(i)$ प्रत्येक किसान की प्रत्येक प्रकार के चावल की सितंबर तथा अक्तूबर की सम्मिलित बिक्री ज्ञात कीजिए।

$(ii)$ सितंबर की अपेक्षा अक्तूबर में हुई बिक्री में कमी ज्ञात कीजिए।

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medium

$X$ तथा $Y ,$ ज्ञात कीजिए, यदि $X + Y =\left[\begin{array}{ll}5 & 2 \\ 0 & 9\end{array}\right]$ तथा $X – Y =\left[\begin{array}{cc}3 & 6 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ है।

easy

यदि $A$ और $B, n × n$ कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं, तो ${(A – B)^2}$ का मान होगा

normal