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4-1.Complex numbers
medium
सम्मिश्र संख्याएँ $\sin x + i\cos 2x$ तथा $\cos x - i\sin 2x$ के किस मान के लिये एक दूसरे की संयुग्मी हैं
A
$x = n\pi $
B
$x = \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\pi $
C
$x = 0$
D
$x$ के किसी भी मान के लिए नहीं
(IIT-1988)
Solution
(d) $\sin x + i\cos 2x$ एवं $\cos x – i\sin 2x$एक दूसरे के संयुग्मी होंगे यदि $sin x=cos x$एवं $\cos 2x = \sin 2x$
या $\tan x = 1$ $⇒ x = \frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4},\frac{{9\pi }}{4},……$ $(i)$
तथा $\tan 2x = 1$ $⇒ 2x = \frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4},\frac{{9\pi }}{4},……..$
या $x = \frac{\pi }{8},\frac{{5\pi }}{8},\frac{{9\pi }}{8}$, ………$(ii)$
परन्तु $(i)$ व $(ii) $ को एक साथ संतुष्ट करने वाला $x$ का कोई भी मान नहीं है। अत: $x$ के किसी भी मान के लिए दी गयी संख्यायें परस्पर संयुग्मी नहीं हैं।
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