ઉપવલય ${x^2} + 3{y^2} = 6$ ના સ્પર્શક પર આ ઉપવલયના કેન્દ્રમાંથી દોરેલા લંબપાદનો બિંદુપથ મેળવો.

જો રેખા $x -2y = 12$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ ના બિંદુ $\left( {3,\frac{-9}{2}} \right)$ આગળનો સ્પર્શક હોય તો ઉપવલયના નાભીલંબની લંબાઈ = 

પ્રકાશનું કિરણ બિંદુ $(2,1)$ માંથી પસાર થાય ને $y$ - અક્ષ પરનું બિંદુ $P$ થી પરાવર્તિત પામી ને બિંદુ $(5,3)$ માંથી પસાર થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ એ ઉપવલયની નિયામિકા બને છે  કે જેની ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{3}$  છે અને નજીકના નાભીનું આ નિયામિકા થી અંતર $\frac{8}{\sqrt{53}}$ હોય તો બીજી નિયમિકાનું સમીકરણ મેળવો.

જો ઉપવલયની નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ છે અને નિયમિકા વચ્ચેનું અંતર $12$ તો નાભીલંભની લંબાઈ મેળવો.

ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ના નાભિલંબના ખૂબ જ દૂરના બિંદુ (અંત્યબિંદુ) નો ઉત્કેન્દ્રીકોણ.....

ધારોકે ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ પર ના બિંદુ $(3 \sqrt{3}, 1)$ પાસે ના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ માં મળે છે. ધારોકે $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળ $C$ દોરી શકાય છે અને રેખા $x=2 \sqrt{5}$ એ $\alpha^2-\beta^2=........$