મૂળાક્ષરો $a, b, c, d, e,f$ માંથી એકસાથે પુનરાવર્તન સિવાય $3$ મૂળાક્ષરો સાથે લેતા ઓછામાં ઓછો એક સ્વર આવે તેવા કેટલા શબ્દ બનાવી શકાય.

$2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} r{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n{\mkern 1mu} $ for ${\rm{\{ }}{r^n}{\rm{\} }}{\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 1}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 2}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} .....$

$6 \,\,' + '$ અને ચાર $' * '$ ચિહ્નોને એક રેખામાં એવી રીતે ગોઠવો કે જેથી બે  $' * '$ ચિહ્નો એક સાથે ન આવે તો તે કુલ કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય ?

$'CALCUTTA'$ શબ્દના અક્ષરોની ગોઠવણીની સંખ્યા કેટલી થાય ?

શબ્દ $SATAYPAUL$ ના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને એવા કેટલા શબ્દો મળે કે જેથી બે $A$ સાથે ન  આવે અને મધમ અક્ષર વ્યંજન હોય ?

જો $\binom{n-1}{4} , \binom{n-1}{5} ,\binom{n-1}{6}$  સમાંતર શ્રેણી હોય તો  $n$ શોધો