માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો, તે માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $({ \in _r})$ અને સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $(\mu _r)$ વડે નક્કી થતા હોય છે, જેમ કે તેનો વક્રીભવનાંક, સૂત્ર $n = \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ વડે મળે છે. સામાન્યતઃ મોટાભાગના પ્રકાશીય માધ્યમો માટે , ${ \in _r} > 0$ અને $\mu _r> 0$ અને તેથી ${ \in _r}{\mu _r}$ નું વર્ગમૂળ લેતી વખતે મળતાં ધન અને ઋણ મૂલ્યો પૈકી ધન મૂલ્ય લેતાં $n > 0$ મળે છે. પરંતુ $1964$ માં V. Veselago નામના રશિયન વૈજ્ઞાનિકે $\in _r < 0$ તથા $u_r < 0$ ધરાવતા દ્રવ્યોના અસ્તિત્વ વિશે આગાહી કરી હતી. ત્યારબાદ “metamaterials” તરીકે ઓળખાતા આવા દ્રવ્યોનું ઉત્પાદન પ્રયોગશાળામાં કરીને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો પ્રાયોગિક અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે. આવા દ્રવ્યો માટે $n =  - \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ અત્રે આવા માધ્યમમાં પ્રકાશનું કિરણ દાખલ થાય છે ત્યારે તેમાંના પ્રકાશ સદિશોનું પ્રસરણ, મૂળ દિશાથી દૂરની તરફ થતું હોય છે.

ઉપરોક્ત વર્ણન પરથી સાબિત કરો કે,

$(i)$ આવા માધ્યમની સપાટી પર પ્રકાશનું કિરણ, (આપાત બિંદુમાંથી પસાર થતા આપાત સમતલમાં વિચારેલા ચાર ચરણ પૈકી) બીજા ચરણમાં રહીને $\theta $ ખૂણે આપાત થાય તો વક્રીભૂત કિરણ ત્રીજા ચરણમાં મળશે અને

$(ii)$ આ કિસ્સામાં પણ સ્નેલના નિયમનું પાલન તો થાય છે જ.

$(i)$પ્રસ્તુત પ્રશ્નના ઉકેલમાં આપેલા માધ્યમની સમતુલ્ય પ્રકાશીય પથલંબાઈ આવશે તેથી તેની સમજૂતી પહેલાં મેળવી લઈએ. આપેલા ઘટ્ટ પારદર્શક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક વ્યાખ્યાનુસાર,

$n=\frac{c}{v} \Rightarrow c=n v$

ઉપરોક્ત માધ્યમમાં પ્રકાશના કિરણને $v$ જેટલા વેગથી $l$ જેટલું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ હોય તો, $v=\frac{l}{t} \Rightarrow t=\frac{l}{v}$

ઉપરોક્ત સમયમાં પ્રકાશનું કિરણ, હવા કે શૂન્યવકાશમાં જે અંતર કાપી શકે તે અંતરને આપેલા પારદર્શક ધટ્ટ માધ્યમની સમતુલ્ય પ્રકાશીય પથલંબાઈ કહે છે. તેની સંજ્ઞા $l_{0}$ લઈએ તો હવા કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ $c$ હોવાથી,

$c=\frac{l_{0}}{t}=\frac{l_{0}}{\left(\frac{l}{v}\right)}=\frac{v l_{0}}{l}$

$\therefore \frac{c}{v}=\frac{l_{0}}{l}$

$\therefore n=\frac{l_{0}}{l}$

$\therefore l_{0}=n l\dots(2)$

ઉપરોક્ત સમીકરણનો ઉપયોગ પ્રસ્તુત પ્રશનનાં ઉકેલમાં આવે છે.

આકૃતિ $(1)$ માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પ્રકાશનું સમતલ તરંગઅગ્ર $AB$, $metamaterial$ ની સપાટી $MN$ પર $t=0$ સમયે આપાત થાય છે. હવે, રકમમાં આપેલી આગાહી સાચી હોય તો $metamaterial$ ની અંદર $t$ સમયે વક્રીભૂત તરંગઅગ્ર $ED$, આકૃતિ $(1)$ માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એવી રીતે રચાશે જેથી આપાતકોણ $\theta_{i}$ બીજા ચરણમાં હોય ત્યારે વક્રી ભૂતકોણ $\theta_{r}$ ત્રીજી ચરણામાં મળે.

અત્રે $ED$ એ તરંગઅગ્ર હોવાથી, તેની પરના બધા જ બિદુુઓએ પ્રકાશ સદિશોના દોલનની કળા સમાન બનવી જોઈએ. આ માટે $A$ અને $B$ માંથી નીકળેલા પ્રકાશના કિરણો જ્યારે $t$ સમયમાં અનુક્રમે બિંદુઓ $E$ અને $D$ આગળ પહોંચે ત્યારે તેમની પ્રકાશીય પથલંબાઈ સમાન થવી જોઈએ. જો આ લંબાઈઓ અનુક્રમે $r_{1}$ અને $r_{2}$ હોય તો સમીકરણ $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા,