$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a – 1)}^2}}&{{{(b – 1)}^2}}&{{{(c – 1)}^2}}\end{array}\,} \right| = $

જો $\alpha $, $\beta$ $\gamma$, $\delta$ એ  $z^5=1$ ના કાલ્પનિક બીજ હોય તો  $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{e^\alpha }}&{{e^{2\alpha }}}&{{e^{3\alpha  + 1}}}&{ – {e^{ – \delta }}} \\ 
  {{e^\beta }}&{{e^{2\beta }}}&{{e^{3\beta  + 1}}}&{ – {e^{ – \delta }}} \\ 
  {{e^\gamma }}&{{e^{2\gamma }}}&{{e^{3\gamma  + 1}}}&{ – {e^{ – \delta }}} 
\end{array}} \right|$ મેળવો.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{ccc}0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right|=0$

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^{3} & b^{3} & c^{3}
\end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

જો  $ a, b $ અને $c $ એ શૂન્યતર સંખ્યા હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2}{c^2}}&{bc}&{b + c}\\{{c^2}{a^2}}&{ca}&{c + a}\\{{a^2}{b^2}}&{ab}&{a + b}\end{array}\,} \right|= .. . .$