निकाय {x₁} - {x₂} + {x₃} = 2, ,3{x₁} - {x₂} + 2{x₃} =

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

निकाय ${x_1} - {x_2} + {x_3} = 2,$ $\,3{x_1} - {x_2} + 2{x_3} = - 6$ व $3{x_1} + {x_2} + {x_3} = - 18$ के हलों की संख्या होगी

कोई हल नहीं

केवल एक हल

अनन्त हल

इनमें से कोई नहीं

Solution

(c) $D = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}&1\\3&{ – 1}&2\\3&1&1\end{array}\,} \right|\, = \,1[ – 1 – 2] – 1[6 – 3] + 1[3 + 3] = 0$

${D_1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}&1\\{ – 6}&{ – 1}&2\\{ – 18}&1&1\end{array}\,} \right|\, = 2( – 1 – 2) – 1( – 36 + 6) + 1( – 6 – 18)$

${D_1}$ $ = – 6 + 30 – 24 = 0$

तथा ${D_2} = 0;\,{D_3} = 0$

इसलिए निकाय संगत है, $(D = {D_1} = {D_2} = {D_3} = 0)$

अर्थात् निकाय के अनन्त हल हैं।

Standard 12

Mathematics

यदि $\Delta_{ r }=\left|\begin{array}{ccc} r & 2 r -1 & 3 r -2 \\ \frac{ n }{2} & n -1 & a \\ \frac{1}{2} n ( n -1) & ( n -1)^{2} & \frac{1}{2}( n -1)(3 n +4)\end{array}\right|$ हैं, तो $\sum_{ r =1}^{ n -1} \Delta_{ r }$ का मान

hard

(JEE MAIN-2014)

निकाय $x + y + z = \lambda ,$ $5x – y + \mu z = 10$, $2x + 3y – z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व निर्भर करता है

medium

यदि ${\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}x&b&b\\a&x&b\\a&a&x\end{array}\,} \right|$ और ${\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}x&b\\a&x\end{array}\,} \right|$ हो, तब

hard

यदि $R$ में किन्हीं $\alpha$ तथा $\beta$ के लिए, निम्न तीन समतलों $x+4 y-2 z=1$, $x+7 y-5 z=\beta$, $x+5 y+\alpha z=5$ का प्रतिच्छेदन, $R ^{3}$ में एक रेखा है, तो $\alpha+\beta$ का मान है

hard

(JEE MAIN-2020)

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+3 z=0$, $x+3 y+k^{2} z=0$, $3 x+y+3 z=0$ का किसी $k \in R$, के लिए, एक शून्येत्तर हल $( x , y , z )$ है, तो $x +\left(\frac{ y }{ z }\right)$ बराबर है –

medium

(JEE MAIN-2020)

निकाय ${x_1} - {x_2} + {x_3} = 2,$ $\,3{x_1} - {x_2} + 2{x_3} = - 6$ व $3{x_1} + {x_2} + {x_3} = - 18$ के हलों की संख्या होगी

Solution

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यदि $\Delta_{ r }=\left|\begin{array}{ccc} r & 2 r -1 & 3 r -2 \\ \frac{ n }{2} & n -1 & a \\ \frac{1}{2} n ( n -1) & ( n -1)^{2} & \frac{1}{2}( n -1)(3 n +4)\end{array}\right|$ हैं, तो $\sum_{ r =1}^{ n -1} \Delta_{ r }$ का मान

निकाय $x + y + z = \lambda ,$ $5x – y + \mu z = 10$, $2x + 3y – z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व निर्भर करता है

यदि ${\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&b&b\\a&x&b\\a&a&x\end{array}\,} \right|$ और ${\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&b\\a&x\end{array}\,} \right|$ हो, तब

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x+y+3 z=0$, $x+3 y+k^{2} z=0$, $3 x+y+3 z=0$ का किसी $k \in R$, के लिए, एक शून्येत्तर हल $( x , y , z )$ है, तो $x +\left(\frac{ y }{ z }\right)$ बराबर है –

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यदि ${\Delta _1} = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}x&b&b\\a&x&b\\a&a&x\end{array}\,} \right|$ और ${\Delta _2} = \left| {\,\begin{array}{{20}{c}}x&b\\a&x\end{array}\,} \right|$ हो, तब