आव्यूहों A =left(begin{array}{ccc}0 & 2 y & 1 2 x & y & -1 2 x &

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

आव्यूहों $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 y & 1 \\ 2 x & y & -1 \\ 2 x & - y & 1\end{array}\right),( x , y \in R , x \neq y )$ जिनके लिए $A ^{ T } A =3 I _{3}$ है, की कुल संख्या है

A

$6$

B

$2$

C

$3$

D

$4$

(JEE MAIN-2019)

Solution

${A^T}A = 3{I_3}$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{2x}&{2x}\\
{2y}&y&{ – y}\\
1&{ – 1}&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{2y}&1\\
{2x}&y&{ – 1}\\
{2x}&{ – y}&1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{array}} \right]$

$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{8{x^2}}&0&0\\
0&{6{y^2}}&0\\
0&0&3
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{array}} \right]$

$ \Rightarrow 8{x^2} = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{3}{8}} $

$ \Rightarrow 6{y^2} = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt {\frac{1}{2}} $

$4$ matrices are possible

Standard 12

Mathematics

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माना कोटि $2 \times 1$ के एक वास्तविक आव्यूह $M$ के लिए $\mathrm{M}^{\mathrm{T}} \mathrm{M}=\mathrm{I}_1$ है तथा $\mathrm{A}=\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}$ है। यदि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है तथा कोटि $2 \times 1$ के किसी शून्येत्तर वास्तविक आव्यूह $X$ के लिए $\mathrm{AX}=\lambda \mathrm{X}$ है, तो $\lambda$ के सभी संभव मानों के वर्गों का योग है ……………..|

hard

(JEE MAIN-2024)

निम्नलिखित कथनों में असत्य है

medium

माना की $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$,

$P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ और $X=\sum_{k=1}^6 P_k\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ K }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है (हैं)?

जहाँ आव्यूह (matrix) $P _{ K }$ के परिवर्त (transpose) को $P _{ E }^{ T }$ से दर्शाया गया है। तब निम्न में से कौन सा (से) विकल्प सहीं है

(हैं)?

$(1)$ $X -30 I$ एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।

$(2)$ $X$ के विकर्ण (diagonal) की प्रविष्टियों (entries) का योग $18$ है

$(3)$यदि $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$, तब $\alpha=30$

$(4)$ $X$ एक समित (symmetric) अव्युह हैं

normal

(IIT-2019)

यदि $A =\left[\begin{array}{rrr}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ तो $\frac{1}{2}\left( A + A ^{\prime}\right)$ तथा $\frac{1}{2}\left( A – A ^{\prime}\right)$ ज्ञात कीजिए।

hard

यदि $A =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right), \quad B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ i & 1\end{array}\right), i=\sqrt{-1}$, तथा $Q = A ^{ T } BA$ है, तो आव्यूह $A Q ^{2021} A ^{ T }$ का व्युत्क्रम बराबर है

hard

(JEE MAIN-2021)