माना कोटि 2 × 1 के एक वास्तविक आव्यूह M के

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3 and 4 .Determinants and Matrices

hard

माना कोटि $2 \times 1$ के एक वास्तविक आव्यूह $M$ के लिए $\mathrm{M}^{\mathrm{T}} \mathrm{M}=\mathrm{I}_1$ है तथा $\mathrm{A}=\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}$ है। यदि $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है तथा कोटि $2 \times 1$ के किसी शून्येत्तर वास्तविक आव्यूह $X$ के लिए $\mathrm{AX}=\lambda \mathrm{X}$ है, तो $\lambda$ के सभी संभव मानों के वर्गों का योग है .................|

A

$1$

B

$2$

C

$3$

D

$4$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$ \mathrm{A}=\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $

$ \mathrm{A}^2=\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right)\left(\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}\right) $

$ =\mathrm{I}_2-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}-2 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $

$ =\mathrm{I}_2-4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}}+4 \mathrm{MM}^{\mathrm{T}} $

$ =\mathrm{I}_2 $

$ \mathrm{AX}=\lambda \mathrm{X} $

$ \mathrm{A}^2 \mathrm{X}=\lambda \mathrm{AX}$

$ \mathrm{X}=\lambda(\lambda \mathrm{X}) $

$ \mathrm{X}=\lambda^2 \mathrm{X} $

$\mathrm{X}\left(\lambda^2-1\right)=0 $

$ \lambda^2=1 $

$ \lambda= \pm 1$

Sum of square of all possible values $=2$

Standard 12

Mathematics

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