બે ઘર્ષણરહિત રસ્તાઓ એક ધીમો અને બીજો ઝડપી ઢાળવાળો એકબીજાને $A$ પાસે મળે છે, જ્યાંથી બે પથ્થરોને સ્થિર સ્થિતિમાંથી દરેક રસ્તા પર સરકાવવામાં આવે છે ( આકૃતિ ). શું બંને પથ્થરો તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે ? શું બંને ત્યાં એકસરખી ઝડપથી પહોંચશે? સમજાવો. અહીંયાં $\theta_{1}=30^{\circ}, \theta_{2}=60^{\circ},$ અને $h=10\; m ,$ આપેલ હોય, તો બંને પથ્થરોની ઝડપ અને તેમણે લીધેલ સમય કેટલા હશે ?
No; the stone moving down the steep plane will reach the bottom
first Yes; the stones will reach the bottom with the same speed $v_{ B }=$
$v_{ C }=14 m / s t_{1}=2.86 s ; t_{2}=1.65 s$
The given situation can be shown as in the following figure
Here, the initial height (AD) for both the stones is the same ( $h$ ). Hence, both will have the same potential energy at point $A.$
As per the law of conservation of energy, the kinetic energy of the stones at points $B$ and
C will also be the same, i. e., $\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2} m v_{2}^{2}$
$v_{1}=v_{2}=v,$ say Where $, m=$ Mass of each
stone $v=$ Speed of each stone at points
$B$ and $C$
Hence, both stones will reach the bottom with the same speed, $v$
For stone I:
Net force acting on this stone is given by:
$F_{net}=m a_{1}=m g \sin \theta_{1}$
$a_{1}=g \sin \theta_{1}$
For stone II:
$a_{2}= g \sin \theta_{2}$
$\because \theta_{2}>\theta_{1}$
$\therefore \sin \theta_{2}>\sin \theta_{1}$
$\therefore a_{2}>a_{1}$
Using the first equation of motion, the time of slide can be obtained as:
$v=u+a t$
$\therefore t=\frac{v}{a} \quad(\because u=0)$
For stone I:
$t_{1}=\frac{v}{a_{1}}$
For stone II:
$t_{2}=\frac{v}{a_{2}}$
$\because a_{2}>a_{1}$
$\therefore t_{2}$
Hence, the stone moving down the steep plane will reach the bottom first.
The speed ( $v$ ) of each stone at points $B$ and $C$ is given by the relation obtained from the law of conservation of energy. $m g h=\frac{1}{2} m v^{2}$
$\therefore v=\sqrt{2 g h}$
$=\sqrt{2 \times 9.8 \times 10}$
$=\sqrt{196}=14 m / s$
The times are given as:
$t_{1}=\frac{v}{a_{1}}=\frac{v}{g \sin \theta_{1}}$$=\frac{14}{9.8 \times \sin 30}=\frac{14}{9.8 \times \frac{1}{2}}=2.86 s$
$t_{2}=\frac{v}{a_{2}}=\frac{v}{g \sin \theta_{2}}$$=\frac{14}{9.8 \times \sin 60}=\frac{14}{9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}=1.65 s$
હિલિયમ ભરેલ બલૂન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ ઊંચે ચઢતાં તેની સ્થિતિઊર્જા વધે છે. જેમ-જેમ તે ઊંચે ચઢે તેમ-તેમ તેની ઝડપમાં પણ વધારો થાય છે. આ હકીકતનું યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ સાથે કેવી રીતે સમાધાન (સમજૂતી) કરશો ? હવાની ચાનતા અસરને અવગણો અને હવાની ઘનતા અચળ ધારો.
આકૃતિ માં એક પરિમાણમાં સ્થિતિઊર્જા વિધેયના કેટલાંક ઉદાહરણો આપ્યાં છે. કણની કુલ ઊર્જાનું મૂલ્ય $y$ $(Ordinate)$ અક્ષ પર ચોકડી $(Cross)$ ની નિશાની વડે દર્શાવ્યું છે. દરેક કિસ્સામાં, એવા વિસ્તાર દર્શાવો જો હોય તો, કે જેમાં આપેલ ઊર્જા માટે કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય. આ ઉપરાંત, દરેક કિસ્સામાં કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા કેટલી હોવી જોઈએ તે દર્શાવો. ભૌતિકશાસ્ત્રની દૃષ્ટિએ આવાં કેટલાંક ઉદાહરણો વિચારો કે જેમની સ્થિતિઊર્જાનાં મૂલ્યો આ સાથે મળતાં આવે.
$200\, ms^{-1}$ ની ઝડપથી ઉપર તરફ શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરતો પદાર્થ $490\, m$ ઊંચાઈએ બે સમાન ટુકડામાં વિભાજિત થાય છે. એક ટુકડો શિરોલંબ ઉપર તરફ $400\, ms^{-1}$ વેગ થી ગતિ શરૂ કરે છે. તો બીજા ટુકડા થી અલગ થયા પછી થી જમીન સુધી પહોંચવામાં કેટલા ............... $\mathrm{s}$ સમય લેશે?
દળ $m$ અને $x$ લંબાઈવાળા ગોળા સાથેના એક સાદા લોલકને શિરોલંબ સાથે $\theta_1$ ખૂણો અને ત્યારબાદ $\theta_2$ ખૂણો રાખેલ છે. જ્યારે આ સ્થિતિઓમાંથી છોડવામાં આવે ત્યારે તે નિમ્નત્તમ બિંદૂએ ઝડપો અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ પસાર કરે છે. તો $\frac{v_1}{v_2}=$ ...... હશે?
$0.1 kg $ નો પદાર્થનો બળ વિરુધ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ આપેલ છે.પદાર્થનો શરૂઆતનો વેગ $0 m/s $ હોય,તો $12m $ અંતર કાપ્યા પછી તેનો વેગ કેટલા .............. $m/s$ થાય?