$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{{(b + c)}^2}}&{{a^2}}&{{a^2}} \\ 
  {{b^2}}&{{{(a + c)}^2}}&{{b^2}} \\ 
  {{c^2}}&{{c^2}}&{{{(a + b)}^2}} 
\end{array}} \right|$ ની કિમત મેળવો.

જો સંખ્યાઓ $2, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&1&1 \\ 
  2&b&c \\ 
  4&{{b^2}}&{{c^2}} 
\end{array}} \right]$ છે જો  $det(A) \in [2,16]$ તો  $c$ ની કિમંત   .. . . અંતરાલ માં આવેલી છે .

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી  સાબિત કરો કે, $\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta\end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)$

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી  સાબિત કરો કે, $\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ $p$ અચળ છે. 

જો સમીકરણની સંહતિ $x + 2ay + az = 0,$ $x + 3by + bz = 0,$ $x + 4cy + cz = 0$  ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય, તો $a,b,c$ ની કિમતો . . .. .શ્રેણીમાં થાય.

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી અને વિસ્તરણ કર્યા સિવાય સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{lll}2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86\end{array}\right|=0$