$\mathrm{R}$ બિજ્યાના ગોળાના કેન્દ્ર પર મૂકેલી ${{\rm{\vec m}}}$ ડાઇપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી બિંદુવતું ચુંબકીય કાઇપોલ માટે ગોસનો નિયમ ચકાસો.
$\mathrm{R}$ બિજ્યાના ગોળાના કેન્દ્ર પર મૂકેલી ${{\rm{\vec m}}}$ ડાઇપોલ મોમેન્ટ ધરાવતી બિંદુવતું ચુંબકીય કાઇપોલ માટે ગોસનો નિયમ ચકાસો.
ચુંબકત્વ માટે ગોસનો નિયમ $\int \overrightarrow{ B } \cdot d \overrightarrow{ S }=0$ છે.
ઊગમબિંદુ $"O"$ પર ડાઈપોલની મોમેન્ટ $\overrightarrow{ M }= M \hat{k}$
$O$ થી $r$ અંતરે $P$ બિંદુ વિચારો. $OP$ $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો રચે છે. $\overrightarrow{ M }$ નો $OP$ પરનો ધટક $= M \cos \theta$ છે.
$\vec{M} \cos \theta$ ડાઈપોલ મોમેન્ટનના કારણે $P$ બિંદુએ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર, $\overrightarrow{ B }=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 M \cos \theta}{r^{3}} \hat{r}$
આકૃતિ પરથી કહી શકાય કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ એ $y z$-સમતલમાં છે.
$P$ બિંદુએ $d \overrightarrow{ S }$ ક્ષેત્રફળવાળો સૂક્ષ્મ ખંડ વિચારો.
$\therefore d \overrightarrow{ S }=r(r \sin \theta) \hat{r}=r^{2} \sin \theta d \theta \hat{r}$
$\therefore \int \overrightarrow{ B } \cdot d \overrightarrow{ S }=\int \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 M \cos \theta}{r^{3}} \hat{r}\left(r^{2} \sin \theta d \theta\right) \hat{r}$
$=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ M }{r} \int_{0}^{2 \pi} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta$
$=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ M }{r} \int_{0}^{2 \pi} \sin 2 \theta d \theta$
$=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ M }{r}\left(-\frac{\cos 2 \theta}{2}\right)_{0}^{2 \pi}$
Similar Questions
વિષુવવૃત પાસે પૃથ્વીનું ચુંબકીયક્ષેત્ર લગભગ $4 \times 10^{-5}\, T$ જેટલું છે.જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $6.4 \times 10^6\, m$ જેટલી હોય તો પૃથ્વીની ચુંબકીય મોમેન્ટ ક્યાં ક્રમની હશે?
વિષુવવૃત પાસે પૃથ્વીનું ચુંબકીયક્ષેત્ર લગભગ $4 \times 10^{-5}\, T$ જેટલું છે.જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $6.4 \times 10^6\, m$ જેટલી હોય તો પૃથ્વીની ચુંબકીય મોમેન્ટ ક્યાં ક્રમની હશે?
- [JEE MAIN 2014]
$(a)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વડે (દરેક બિંદુએ) દર્શાવેલી દિશામાં ચુંબકિત કરેલ સોય (તે બિંદુએ) ગોઠવાય છે (એક રેખસ્થ થાય છે). શું ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર માટે દરેક બિંદુએ ચુંબકીય બળ રેખાઓ દર્શાવે છે ?
$(b)$ ટોરોઇડના ગર્ભ ભાગ $(Core)$ માં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સંપૂર્ણતઃ સમાયેલી હોય છે, પરંતુ સીધા સોલેનોઇડમાં નહીં. શા માટે ?
$(c)$ જો ચુંબકીય એક ધ્રુવીઓ અસ્તિત્વ ધરાવતી હોત, તો ચુંબકત્વ માટેના ગૉસના નિયમમાં શું ફરક પડત ?
$(d)$ શું ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના પોતાના પર ટૉર્ક લગાડે ? શું વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારનો એક ખંડ (વિભાગ) તે જ તારના બીજા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ખંડ (વિભાગ) પર બળ લગાડશે ?
$(e)$ ગતિમાન વિધુતભારોના કારણે ચુંબકીયક્ષેત્ર ઉદ્ભવે છે. કોઈ તંત્રનો ચોખ્ખો (પરિણામી) વિધુતભાર શૂન્ય હોય તો પણ તેને ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ) હોઈ શકે ?
$(a)$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વડે (દરેક બિંદુએ) દર્શાવેલી દિશામાં ચુંબકિત કરેલ સોય (તે બિંદુએ) ગોઠવાય છે (એક રેખસ્થ થાય છે). શું ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર માટે દરેક બિંદુએ ચુંબકીય બળ રેખાઓ દર્શાવે છે ?
$(b)$ ટોરોઇડના ગર્ભ ભાગ $(Core)$ માં ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સંપૂર્ણતઃ સમાયેલી હોય છે, પરંતુ સીધા સોલેનોઇડમાં નહીં. શા માટે ?
$(c)$ જો ચુંબકીય એક ધ્રુવીઓ અસ્તિત્વ ધરાવતી હોત, તો ચુંબકત્વ માટેના ગૉસના નિયમમાં શું ફરક પડત ?
$(d)$ શું ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના પોતાના પર ટૉર્ક લગાડે ? શું વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારનો એક ખંડ (વિભાગ) તે જ તારના બીજા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત ખંડ (વિભાગ) પર બળ લગાડશે ?
$(e)$ ગતિમાન વિધુતભારોના કારણે ચુંબકીયક્ષેત્ર ઉદ્ભવે છે. કોઈ તંત્રનો ચોખ્ખો (પરિણામી) વિધુતભાર શૂન્ય હોય તો પણ તેને ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ) હોઈ શકે ?
એક નાનો $d l$ લંબાઈનો પ્રવાહ પસાર કરતો પદાર્થ $(1,1,0)$ પર રહેલ છે. અને ${+z}$ દિશામાં પ્રવાહ પસાર થાય છે.ઉગમબિંદુ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B_1}$ અને બિંદુ $(2,2,0)$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B_2}$ હોય, તો
એક નાનો $d l$ લંબાઈનો પ્રવાહ પસાર કરતો પદાર્થ $(1,1,0)$ પર રહેલ છે. અને ${+z}$ દિશામાં પ્રવાહ પસાર થાય છે.ઉગમબિંદુ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B_1}$ અને બિંદુ $(2,2,0)$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B_2}$ હોય, તો
જ્યારે ચુંબકીય સોયને અસમાન ચુંબકીયક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે શું અનુભવે?
જ્યારે ચુંબકીય સોયને અસમાન ચુંબકીયક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે શું અનુભવે?
- [AIEEE 2005]
ચુંબકના કેન્દ્રથી $x$ અને $2x$ અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીયક્ષેત્રનો ગુણોતર ....
ચુંબકના કેન્દ્રથી $x$ અને $2x$ અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીયક્ષેત્રનો ગુણોતર ....