પરિમિત લંબાઈના સોલેનોઇડની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.
પરિમિત લંબાઈના સોલેનોઇડની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણો સૉલેનોઈડ એક્મ લંબાઈ દીઠ $n$ આંટા ધરાવે છે.
ધારો કે, સોલેનોઈડની લંબાઈ $2 l$ અને ત્રિજ્યા $a$ છે. સોલેનોઈડના કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે આવેલાં $P$ બિંદુ પાસે અક્ષીય (ચુંબકીય)ક્ષેત્ર શોધવું છે.
સોલેનોઈડના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $d x$ લંબાઈનો વર્તુળાકાર ખંડ ધ્યાનમાં લો. તેમાં $n d x$ આંટા છે. સોલેનોઈડમાંથી $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તેથી $N$ આંટાવાળા ગૂંયળાની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમીકરણ અનુસાર તેનું મૂલ્ય,
આંટા $N =n d x$ અને
$O$ થી $P$ નું અંતર $=(r-x)$ લેતાં,
$B =\frac{\mu_{0} NI a^{2}}{2\left[(r-x)^{2}+a^{2}\right]^{3 / 2}}$
$\therefore B =\frac{\mu_{0} n d x I a^{2}}{2\left[(r-x)^{2}+a^{2}\right]^{3 / 2}}$
બધા ખંડ પરનો સરવાળો કરતાં એટલે કે, $x=-l$ થી $x=+l$ સુધી સંક્લન કરતાં કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય મળે.
આમ, $B =\frac{\mu_{0} n I a^{2}}{2} \int_{-l}^{l} \frac{d x}{\left[(r-x)^{2}+a^{2}\right]^{3 / 2}}$
સોલેનોઈડથી દૂરના અક્ષ પરનું બિંદુ વિચારીએ તો, $r>>a$ અને $r>>l$ તેથી છેદમાં આવેલ પદ આશરે આ મુજબ મળે.
$\therefore B =\frac{\mu_{0} n I a^{2}}{2 r^{3}} \int_{-l}^{l} d x$
$=\frac{\mu_{0} n I a^{2}}{2 r^{3}}[l-(-l)]$
Similar Questions
વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં વિદ્યુતભારને અનુરૂપ ચુંબકત્વમાં કઈ ભૌતિકરાશિ મળે છે ? તે જણાવો ?
વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં વિદ્યુતભારને અનુરૂપ ચુંબકત્વમાં કઈ ભૌતિકરાશિ મળે છે ? તે જણાવો ?
વિધુત ક્ષેત્રરેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ વચ્ચેનો તફાવત લખો.
વિધુત ક્ષેત્રરેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ વચ્ચેનો તફાવત લખો.
પૃથ્વીને ચુંબકીય કાઇપોલના મોડેલ $( \mathrm{Model} )$ તરીકે લઈએ, તો પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\mathrm{B}$ નીચે પ્રમાણે અપાય છે.
${{\rm{B}}_{\rm{v}}} = $ = ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $ = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{2m\,\cos \theta }}{{{r^3}}}$
${{\rm{B}}_H}$ $=$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક ${{\rm{B}}_H} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{m\,\sin \theta }}{{{r^3}}}$
$\theta = {90^o}$ - વિષુવવૃત્ત પરથી માપેલ અક્ષાંશ છે, તો : જે બિંદુએ ${{\rm{\vec B}}}$ લઘુતમ હોય.
પૃથ્વીને ચુંબકીય કાઇપોલના મોડેલ $( \mathrm{Model} )$ તરીકે લઈએ, તો પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\mathrm{B}$ નીચે પ્રમાણે અપાય છે.
${{\rm{B}}_{\rm{v}}} = $ = ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક $ = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{2m\,\cos \theta }}{{{r^3}}}$
${{\rm{B}}_H}$ $=$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક ${{\rm{B}}_H} = \frac{{{\mu _0}}}{{4\pi }}\frac{{m\,\sin \theta }}{{{r^3}}}$
$\theta = {90^o}$ - વિષુવવૃત્ત પરથી માપેલ અક્ષાંશ છે, તો : જે બિંદુએ ${{\rm{\vec B}}}$ લઘુતમ હોય.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે ચુંબકીય ડાયપોલ $X$ અને $Y$ને તેમની અક્ષ એકબીજા સાથે લંબ રૂપે રહે તે રીતે એકબીજાથી $d$ અંતરે મુકેલ છે.$Y$ ની ડાયપોલ મોમેન્ટ $X$ ની ડાયપોલ મોમેન્ટ કરતાં બમણી છે.આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ મધ્યબિંદુ $P$ પાસેથી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 45^o$ ના ખૂણેથી પસાર થાય ત્યારે કણ પર કેટલા મૂલ્યનું બળ લાગતું હશે? ($d$ નું મૂલ્ય ડાયપોલના પરિમાણ કરતાં ઘણું વધારે છે.)
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે ચુંબકીય ડાયપોલ $X$ અને $Y$ને તેમની અક્ષ એકબીજા સાથે લંબ રૂપે રહે તે રીતે એકબીજાથી $d$ અંતરે મુકેલ છે.$Y$ ની ડાયપોલ મોમેન્ટ $X$ ની ડાયપોલ મોમેન્ટ કરતાં બમણી છે.આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ મધ્યબિંદુ $P$ પાસેથી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 45^o$ ના ખૂણેથી પસાર થાય ત્યારે કણ પર કેટલા મૂલ્યનું બળ લાગતું હશે? ($d$ નું મૂલ્ય ડાયપોલના પરિમાણ કરતાં ઘણું વધારે છે.)
- [JEE MAIN 2019]
આકૃતિમાં $O$ બિંદુએ મુકેલી એક નાની ચુંબકીત સોય $P$ દર્શાવી છે. તીરની નિશાની તેની ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ)ની દિશા દર્શાવે છે. બીજા તીર, તેના જેવી જ બીજી ચુંબકીય સોય $Q$ ના જુદા જુદા સ્થાન (અને ચુંબકીય ચાકમાત્રાની દિશાઓ) દર્શાવે છે.
$(a)$ કઈ સંરચના (ગોઠવણી)માં આ તંત્ર સંતાનમાં નથી ?
$(b)$ કઈ સંરચના (ગોઠવણી)માં તંત્ર $(i)$ સ્થાયી, અને $(ii)$ અસ્થાયી સંતુલનમાં હશે ?
$(c)$ દર્શાવેલ બધી ગોઠવણીઓમાંથી લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાને અનુરૂપ કઈ ગોઠવણી છે ?
આકૃતિમાં $O$ બિંદુએ મુકેલી એક નાની ચુંબકીત સોય $P$ દર્શાવી છે. તીરની નિશાની તેની ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ)ની દિશા દર્શાવે છે. બીજા તીર, તેના જેવી જ બીજી ચુંબકીય સોય $Q$ ના જુદા જુદા સ્થાન (અને ચુંબકીય ચાકમાત્રાની દિશાઓ) દર્શાવે છે.
$(a)$ કઈ સંરચના (ગોઠવણી)માં આ તંત્ર સંતાનમાં નથી ?
$(b)$ કઈ સંરચના (ગોઠવણી)માં તંત્ર $(i)$ સ્થાયી, અને $(ii)$ અસ્થાયી સંતુલનમાં હશે ?
$(c)$ દર્શાવેલ બધી ગોઠવણીઓમાંથી લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાને અનુરૂપ કઈ ગોઠવણી છે ?