प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=0$

यदि  $a,b,c$ भिन्न हैं तथा $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{{a^2}}&{{a^3} - 1}\\b&{{b^2}}&{{b^3} - 1}\\c&{{c^2}}&{{c^3} - 1}\end{array}\,} \right| = 0$, तब

यदि $x, y, z$ विभिन्न हों और $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}x & x^{2} & 1+x^{3} \\ y & y^{2} & 1+y^{3} \\ z & z^{2} & 1+z^{3}\end{array}\right|=0,$ तो दर्शाइए कि $1+x y z=0$

माना कि $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ और $r, s \in\{1,2,3\}$ हैं। माना कि $P=\left[\begin{array}{cc}(-z)^r & z^{2 s} \\ z^{2 s} & z^r\end{array}\right]$ और $I$ दो कोटि (order $2$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। तब वे सभी क्रमित युग्म (ordered pairs) $(r, s)$, जिनके लिए $P^2=-I$ है, की कुल संख्या है

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$,  तब $k = $

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3 x+k)$