નીચે આપેલી ખાલી જગ્યા પૂરો :
$(a)$ વીજળીનાં વપરાશમાં $1$ યુનિટ એટલે .......... જૂલ કાર્ય.
$(b)$ $10\, m$ ઊંચાઈ પરથી સખત જમીન પર પડતો પદાર્થ $20\,\%$ ઊર્જા ગુમાવે તો તે ............. ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરી શકે.
$(c)$ $a$ ત્રિજયાના વર્તુળાકાર પથ પર એક આકર્ષણ બળની અસર હેઠળ $U = - \frac{k}{{2{r^2}}}$ જેટલી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે તો તેની કુલ ઊર્જા $=$ .......
$(d)$ $1\,\mu \,gm$ દળનું ઊર્જામાં રૂપાંતર કરતાં ........ ઊર્જા મળે.
નીચે આપેલી ખાલી જગ્યા પૂરો :
$(a)$ વીજળીનાં વપરાશમાં $1$ યુનિટ એટલે .......... જૂલ કાર્ય.
$(b)$ $10\, m$ ઊંચાઈ પરથી સખત જમીન પર પડતો પદાર્થ $20\,\%$ ઊર્જા ગુમાવે તો તે ............. ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરી શકે.
$(c)$ $a$ ત્રિજયાના વર્તુળાકાર પથ પર એક આકર્ષણ બળની અસર હેઠળ $U = - \frac{k}{{2{r^2}}}$ જેટલી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે તો તેની કુલ ઊર્જા $=$ .......
$(d)$ $1\,\mu \,gm$ દળનું ઊર્જામાં રૂપાંતર કરતાં ........ ઊર્જા મળે.
$(i)$
$3.6 \times 10^{6}$
$(ii)$
$8\,m$
$20 \%$ ઊર્જા ગુમાવે તેથી $80 \%$ ઊર્જા ધરાવે
$\therefore U _{2}= U _{1}$ ના $80 \%= U _{1} \times \frac{80}{100}=0.8 U _{1}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી
$U _{2}=0.8 U _{1}$
$\therefore m g h_{2}=0.8 \times m g h_{1}$
$\therefore h_{2}=0.8 h_{1}=0.8 \times 10=8 m$
$(iii)$
શૂન્ય
$U =-\frac{k}{2 r^{2}} \Rightarrow \frac{d U }{d r}=+\frac{k}{r^{3}}$
પણ વર્તુળાકાર ગતિ માટે, કેન્દ્રગામી બળ $F =\frac{m v^{2}}{r}$
$\therefore \frac{m v^{2}}{r}=\frac{k}{r^{3}}$
$\therefore \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{k}{2 r^{2}}$
$\therefore K=\frac{k}{2 r^{2}}$
$\therefore$ કુલ ઉર્જા $E = U + K =-\frac{k}{2 r^{2}}+\frac{k}{2 r^{2}}=0$
$(iv)$
$9 \times 10^{7}\,J$
$E=m c^{2}$
$=10^{-9} \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}$
$=9 \times 10^{7}\,J$
Similar Questions
રેખીય સરળ આવર્તગતિ કરતા એક કણ માટે સ્થિતિઊર્જા વિધય $V(x)=$ $k x^{2} / 2$ આપેલ છે, જ્યાં $k$ દોલકનો બળ અચળાંક છે. $k=0.5\; N m ^{-1}$ માટે, $V(x)$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ આકૃતિ માં દર્શાવ્યો છે. દર્શાવો કે આ સ્થિતિમાં $1 \;J$ જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો ગતિ કરતો કણ $x=\pm 2 m$ પહોંચે એટલે “પાછો જ ફરવો જોઈએ.
રેખીય સરળ આવર્તગતિ કરતા એક કણ માટે સ્થિતિઊર્જા વિધય $V(x)=$ $k x^{2} / 2$ આપેલ છે, જ્યાં $k$ દોલકનો બળ અચળાંક છે. $k=0.5\; N m ^{-1}$ માટે, $V(x)$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ આકૃતિ માં દર્શાવ્યો છે. દર્શાવો કે આ સ્થિતિમાં $1 \;J$ જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો ગતિ કરતો કણ $x=\pm 2 m$ પહોંચે એટલે “પાછો જ ફરવો જોઈએ.
$2\; mm$ ત્રિજ્યાનું વરસાદનું એક ટીપું $500 \;m$ ઊંચાઈએથી જમીન પર પડે છે. ઘટતા પ્રવેગથી (હવાના શ્યાનતા અવરોધને કારણે) તે મૂળ ઊંચાઈએથી અડધી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત ના કરે ત્યાં સુધી પડે છે, જ્યાં તે અંતિમ (ટર્મિનલ) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યાર બાદ તે એકધારી (સમાન) ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપાં પર થયેલ કાર્ય કેટલું હશે ? જો તે 1$10\; m s ^{-1} $ ની ઝડપથી તેની સફર પૂરી કરીને જમીન પર પડે, તો તેની આ સફર દરમિયાન અવરોધક બળ વડે ટીપાં પર કેટલું કાર્ય થયું હશે ?
$2\; mm$ ત્રિજ્યાનું વરસાદનું એક ટીપું $500 \;m$ ઊંચાઈએથી જમીન પર પડે છે. ઘટતા પ્રવેગથી (હવાના શ્યાનતા અવરોધને કારણે) તે મૂળ ઊંચાઈએથી અડધી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત ના કરે ત્યાં સુધી પડે છે, જ્યાં તે અંતિમ (ટર્મિનલ) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યાર બાદ તે એકધારી (સમાન) ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપાં પર થયેલ કાર્ય કેટલું હશે ? જો તે 1$10\; m s ^{-1} $ ની ઝડપથી તેની સફર પૂરી કરીને જમીન પર પડે, તો તેની આ સફર દરમિયાન અવરોધક બળ વડે ટીપાં પર કેટલું કાર્ય થયું હશે ?
લીસા બરફની પાટ રાખેલા $M$ દળના પ્લેટ પર $m$ દળનો માણસ ઊભો છે. જો માણસ પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે $v$ ઝડપ સાથે પ્લેટફોર્મ પર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તો પ્લેટ ફોર્મ બરફની સાપેક્ષે કેટલા વેગથી પાછો ખસે છે?
લીસા બરફની પાટ રાખેલા $M$ દળના પ્લેટ પર $m$ દળનો માણસ ઊભો છે. જો માણસ પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે $v$ ઝડપ સાથે પ્લેટફોર્મ પર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તો પ્લેટ ફોર્મ બરફની સાપેક્ષે કેટલા વેગથી પાછો ખસે છે?
$m$ દળનો પદાર્થ $H$ ઊંચાઈએ સ્થિર હોય, તો તેની કુલ યાંત્રિકઊર્જાનું સમીકરણ તારવો
$m$ દળનો પદાર્થ $H$ ઊંચાઈએ સ્થિર હોય, તો તેની કુલ યાંત્રિકઊર્જાનું સમીકરણ તારવો
કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :
$(a)$ બતાવો કે $p = p_i^{\prime} + {m_i}V$
જ્યાં ${p_i}$ એ $i$ મા કણ ( ${m_i}$ દળના)નું વેગમાન અને $p_i^{\prime} = {m_i}v_i^{\prime} $
નોંધ $v_i^{\prime} $ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$ મા કણનો વેગ છે.
આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum {p_i^{\prime} } = 0$
$(b)$ બતાવો કે $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$
જ્યાં $K$ એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા છે. $K'$ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને $M V^{2} / 2$ એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ ઊર્જા છે. (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ). આ પરિણામ પરિચ્છેદ માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.
$(c)$ દર્શાવો કે $L = L ^{\prime}+ R \times M V$ છે.
જ્યાં $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો $r _{i}^{\prime}= r _{i}- R$; બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે. નોંધો $L'$ અને $M R \times V$ એ અનુક્રમે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે.
$(d)$ બતાવો કે : = $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{i}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$
વધુમાં, દર્શાવો કે $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$
જ્યાં $\tau_{c t t}^{\prime}$ એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સરવાળો છે. (સૂચના : દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)
કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :
$(a)$ બતાવો કે $p = p_i^{\prime} + {m_i}V$
જ્યાં ${p_i}$ એ $i$ મા કણ ( ${m_i}$ દળના)નું વેગમાન અને $p_i^{\prime} = {m_i}v_i^{\prime} $
નોંધ $v_i^{\prime} $ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$ મા કણનો વેગ છે.
આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum {p_i^{\prime} } = 0$
$(b)$ બતાવો કે $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$
જ્યાં $K$ એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા છે. $K'$ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને $M V^{2} / 2$ એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ ઊર્જા છે. (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ). આ પરિણામ પરિચ્છેદ માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.
$(c)$ દર્શાવો કે $L = L ^{\prime}+ R \times M V$ છે.
જ્યાં $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો $r _{i}^{\prime}= r _{i}- R$; બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે. નોંધો $L'$ અને $M R \times V$ એ અનુક્રમે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે.
$(d)$ બતાવો કે : = $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{i}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$
વધુમાં, દર્શાવો કે $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$
જ્યાં $\tau_{c t t}^{\prime}$ એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સરવાળો છે. (સૂચના : દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)