$^n{C_r}\,{ \div ^n}\,{C_{r - 1}} = $

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं जिन पर $6$ आदमियों को बैठाया जाना है, जिनमें से एक मेहमान है जिसके लिए विशेष कुर्सी निश्चित है, तो वे कुल कितने प्रकार से बैठ सकते हैं

यदि ${a_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {} \frac{1}{{^n{C_r}}}$ है, तो $\sum\limits_{r = 0}^n {} \frac{r}{{^n{C_r}}}$ =

$2 \le r \le n$ केलिए,$\left({\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) + 2\,\left( \begin{array}{l}\,\,n\\r - 1\end{array} \right)$ $ + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\{r - 2}\end{array}} \right)$=

किसी वृत्त पर स्थित $21$ बिंदुओं से होकर जाने वाली कितनी जीवाएँ खींची जा सकती हैं ?

$INVOLUTE$ शब्द के अक्षरों से, अर्थपूर्ण या अर्थहीन प्रत्येक $3$ स्वरों तथा $2$ व्यंजनों वाले, कितने शब्दों की रचना की जा सकती है ?