$^n{C_r}{ + ^n}{C_{r - 1}}$ =

$12$ उपलब्ध पाठक्रमों, जिनके $5$ भाषा के पाठयक्रम है, में से एक लड़के को पाँच पाठयक्रम लेने हैं। यदि वह अधिकतम दो भाषा के पाठयक्रम ले सकता है, तो उसके द्वारा पाँच पाठयक्रम लेने के तरीकों की संख्या है__________. 

यदि $^{n}{P_4} = 24.{\,^n}{C_5},$ तो $n$ का मान होगा  

एक फुटबॉल चैम्पियनशिप में $153$ मैच खेले गये। प्रत्येक टीम ने प्रत्येक टीम के साथ एक मैच ख्ेाला। चैम्पियनशिप में सम्मिलित टीमों की संख्या है   

चार डिब्बों पर विचार कीजिए, जहाँ प्रत्येक डिब्बे में $3$ लाल गेंदें एवं $2$ नीली गेंदें हैं। मान लीजिए कि सभी $20$ गेंदें भिन्न (distinct) हैं। इन $4$ डिब्बों से $10$ गेंदों को कितने भिन्न तरीके से चयनित किया जा सकता है कि प्रत्येक डिब्बे से कम से कम एक लाल गेंद एवं एक नीली गेंद चयनित हों ?

$m$ पुरूष तथा $n$ महिलाओं को एक सरल रेखा में इस प्रकार बैठाना है, कि दो महिलाएँ एक साथ न बैठें। यदि $m > n$ हो, तब दर्शाइये कि इन्हें बैठाने के कुल प्रकार हैं