$12$ रिक्त स्थानों को भरने के लिए $25$ उम्मीदवार हैं, जिनमें से $5$ अनुसूचित जाति के हैं। यदि $3$ रिक्त स्थान अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों के लिये आरक्षित हों जबकि शेष में खुली प्रतियोगिता है, तो चुनाव के कुल तरीके हैं

$5$ विभिन्न रंगों की गेंदों को तीन विभिन्न आकार के सन्दूकों में रखना है। प्रत्येक सन्दूक पाँचों गेंदों को रख सकता है। अत: हम इन गेंदों को सन्दूकों में कुल कितने प्रकार से रख सकते हैं, यदि कोई भी सन्दूक खाली न रहे

कोटि $3 \times 3$ के आव्यूहों, जिनके अवयव या तो 0 या 1 हैं तथा सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या है, की संख्या है $..............$

$5000$ तथा $10,000$ के बीच अंकों $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ का प्रयोग करके कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती हैं जबकि प्रत्येक अंक, प्रत्येक संख्या में एक से अधिक बार सम्मिलित न किया गया हो  

यदि $^n{C_r} = 84,{\;^n}{C_{r - 1}} = 36$ तथा $^n{C_{r + 1}} = 126$, तो $n$ का मान होगा   

$INVOLUTE$ शब्द के अक्षरों से, अर्थपूर्ण या अर्थहीन प्रत्येक $3$ स्वरों तथा $2$ व्यंजनों वाले, कितने शब्दों की रचना की जा सकती है ?