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6.Permutation and Combination
hard
माना $\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}$ है। $\mathrm{S}$ के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग $3$ का एक गुणज है, की संख्या है__________.
A
$42$
B
$43$
C
$41$
D
$40$
(JEE MAIN-2023)
Solution
Elements of the type $3 k =3$
Elements of the type $3 k +1=1,7,9$
Elements of the type $3 k +2=2,5,11$
Subsets containing one element $S_1=1$
Subsets containing two elements
$S_2={ }^3 C_1 \times{ }^3 C_1=9$
Subsets containing three elements
$S_3={ }^3 C_1 \times{ }^3 C_1+1+1=11$
Subsets containing four elements
$S_4={ }^3 C_3+{ }^3 C_3+{ }^3 C_2 \times{ }^3 C_2=11$
Subsets containing five elements
$S_5={ }^3 C_2 \times{ }^3 C_2 \times 1=9$
Subsets containing six elements $S_6=1$
Subsets containing seven elements $S_7=1$
$\Rightarrow \text { sum }=43$
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