$h$ ઉંચાઈની એક ભેખડ પરથી એક ભારે (વજનદાર) પથ્થરને $v $ ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. પથ્થર જમીનને મહત્તમ ઝડપે અથડાય તે માટે તેને કેવી રીતે અને કઈ દિશામાં ફેંકવો જોઈએ?

$m$  દળનો પદાર્થ $v$  વેગથી તે જ દિશામાં $ kv$  વેગથી જતાં $nm $ દળના પદાર્થ સાથે અથડાતા,પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થાય,તો બીજા પદાર્થનો વેગ

કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :

$(a)$ બતાવો કે $p = p_i^{\prime}  + {m_i}V$

જ્યાં ${p_i}$ એ $i$ મા કણ ( ${m_i}$ દળના)નું વેગમાન અને $p_i^{\prime}  = {m_i}v_i^{\prime} $

નોંધ $v_i^{\prime} $ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે $i$ મા કણનો વેગ છે.

આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\sum {p_i^{\prime} }  = 0$

$(b)$ બતાવો કે $K=K^{\prime}+1 / 2 M V^{2}$

જ્યાં $K$ એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા છે. $K'$ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને $M V^{2} / 2$ એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ ઊર્જા છે. (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ). આ પરિણામ પરિચ્છેદ માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.

$(c)$ દર્શાવો કે $L = L ^{\prime}+ R \times M V$ છે.

જ્યાં $L ^{\prime}=\sum r _{i}^{\prime} \times p _{i}^{\prime}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં વેગોને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો $r _{i}^{\prime}= r _{i}- R$; બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે. નોંધો $L'$ અને $M R \times V$ એ અનુક્રમે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે. 

$(d)$ બતાવો કે : = $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\sum r _{i}^{\prime} \times \frac{d p ^{\prime}}{d t}$

વધુમાં, દર્શાવો કે $\frac{d L ^{\prime}}{d t}=\tau_{e x t}^{\prime}$

જ્યાં $\tau_{c t t}^{\prime}$ એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સરવાળો છે. (સૂચના : દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)

કણોના તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લખો. 

$3\, meter$ લંબાઈ અને $3\, {kg}$ દળ ધરાવતી સાંકળ ટેબલની ધાર પર લટકે છે જેનો $2\, meter$ જેટલો ભાગ ટેબલ પર છે. જો $k$ એ જ્યારે સાંકળ ટેબલ પરથી સંપૂર્ણ સરકી જાય તે સમયેની જુલમાં ગતિઉર્જા હોય તો ${k}$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે? ($\left.g=10\, {m} / {s}^{2}\right)$

ચાંત્રિકઊર્જાના સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત મેળવીને નિયમ લખો.