$\sum\limits_{1 < \,p < \,100} {p\,!\,\, – \,\sum\limits_{n\, = \,1}^{50} {(2n)\,!} } \,$  નો એક્મનો  અંક છે 

$5$ કુમાર અને $4$ કુમારીમાંથી $3$ કુમાર અને $3$ કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?

વિધાન $1:$ $ 10$ સમાન દડાને $4$ ભિન્ન પેટીમાં $^9C_3$ રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી કેાઇપણ પેટી ખાલી ન રહે.

વિધાન $2$: $9$ ભિન્ન જગ્યામાંથી $3$ જગ્યાની પસંદગી $^9C_3$  રીતે થઇ શકે.

ધારોકે $7$ લાલ સફરજન,$5$ સફેદ સફરજન અને $8$ નારંગી વાળી ટોપલીમાંથી અનિલની માતા અનિલને $5$ અખંડ ફળો આપવા માંગ છે. પસંદ કરેલ $5$ ફળોમાં, જો ઓછામાં ઓછી $2$ નારંગી, ઓછામાં ઓછું એક લાલ સફરજન અને ઓછામાં ઓછું એક સફેદ સફરજન આપવાનું જ હોય, તો અનિલની માતા અનિલને $5$ ફળો કેટલી રીતે આપી શકે ?

અંગ્રેજી વર્ણમાળામાં $5$ સ્વરો અને $21$ વ્યંજનો છે. મૂળાક્ષરોમાંથી $2$ ભિન્ન સ્વરો અને $2$ ભિન્ન વ્યંજનો દ્વારા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય ?