$4$ ઓફિસર અને $8$ કોન્સ્ટેબલ પૈકી $6$ વ્યક્તિઓને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછા એક ઓફિસરનો સમાવેશ થાય ?

$6$ ભારતીય અને $8$ વિદેશીમાંથી એક એવી વૈજ્ઞાનિક સમિતિ રચવામાં આવે છે, કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $2$ ભારતીય અને ભારતીય કરતાં બમણી સંખ્યાના વિદેશીઓનો સમાવેશ થાય છે. તો આવી સમિતિ રચવાની રીતોની સંખ્યા ............છે.

જો $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $^{19} \mathrm{C}_{\mathrm{p}},^{20} \mathrm{C}_{\mathrm{q}}$ અને $^{21 }\mathrm{C}_{\mathrm{r}}$ ની મહતમ કિમંતો હોય તો . . .  

જો $\left( {_3^n} \right) + \left( {_4^n} \right) > \left( {_{\,\,\,3}^{n + 1}} \right)$ હોય, તો....

એક ક્લબની ચૂંટણીમાં સ્પર્ધકોની સંખ્યા એ મહતમ ઉમેદવારો કરતાં એક વધારે છે કે જે મતદાતા મત આપી શકે છે જો મતદાતા મત આપે તે કુલ $62$ રીતે આપે છે તો ઉમેદવારોની સંખ્યા મેળવો 

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{50}\\4\end{array}} \right)\,\, + \,\,\sum\limits_{i = 1}^6 {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{56\, - \,i}\\3\end{array}} \right)} = ......$