જો સમીકરણ x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0 ને ચ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

ધારો કે, વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$,  હોય તો, સમીકરણ $(x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma) (x -\delta  ) = 0$

${x^4} - (\

Vedclass · Accepted Answer

$6, - 4$

Vedclass · Answer

ધારો કે, વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$,  હોય તો, સમીકરણ $(x - \alpha) (x - \beta) (x - \gamma) (x -\delta  ) = 0$

${x^4} - (\alpha  + \beta  + \gamma  + \delta ){x^3} + (\alpha \beta  + \beta \gamma  + \gamma \delta $

$ + \alpha \delta  + \beta \delta  + \alpha \gamma ){x^2} - (\alpha \beta \gamma  + \beta \gamma \delta $

$ + \alpha \beta \delta  + \alpha \gamma \delta )x + \alpha \beta \gamma \delta  = 0$

${x^4} - \sum \alpha .{x^3} + \sum \alpha \beta .{x^2} - \sum \alpha \beta \gamma .x + \alpha \beta \gamma \delta  = 0$

${x^4} - 4{x^3} + a{x^2} + bx + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,

$\sum \alpha  = 4,\,\sum \alpha \beta \, = a,\,\sum \alpha \beta \gamma  =  - b,\,\alpha \beta \gamma \delta  = 1$

વાસ્તવિક બીજ માટે, $A.M. \geq G.M.$

$\frac{1}{4}(\sum \alpha ) \ge {(\alpha \beta \gamma \delta )^{1/4}};\,$ $\sum \alpha  = 4$

$	herefore \,\,\frac{1}{4}\sum \alpha  = \frac{1}{4} 	imes 4 = 1$

${(\alpha \beta \gamma \delta )^{1/4}} = 1 \Rightarrow \,\,\alpha \beta \gamma \delta  = 1$ 

$\Sigma \alpha  = 4$ અને $\alpha \beta \gamma \delta  = 1$

$	herefore \,\,\alpha  = \beta  = \gamma  = \delta \,\, = \,\,1$

હવે $,\,\sum \alpha \beta  = a$

$	herefore a = \alpha \beta  + \beta \gamma  + \gamma \delta  + \alpha \delta  + \beta \delta  + \alpha \gamma $

$ = 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1 + 1 	imes 1\,\, = \,\,6$

$ - b = \alpha \beta \gamma  + \alpha \beta \delta  + \alpha \gamma \delta  + \beta \gamma \delta $

$ = 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1 + 1 	imes 1 	imes 1$

$ = {(1)^3} + {(1)^3} + {(1)^3} + {(1)^3}$

$ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

$	herefore \,b =  - 4\,;\,$

$	herefore a = 6\,$ અને $b\,\, = \,\, - 4$

જો સમીકરણ $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ ને ચાર વાસ્તવિક બીજ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ હોય તો, $a$ અને $b$ ની કિંમત ......હશે.

Similar Questions

$m$ ના કયા મૂલ્ય માટે સમીકરણ $y^2 + 2xy + 2x + my - 3$ ને બે સંમેય અવયવ ઉકેલી શકાય ?

જો $ax^3 + bx^2 + cx + d$ ના એક અવયવ $x^2 + x + 1$ હોય, તો $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ નું વાસ્તવિક બીજ કયું હોય ?

$\sin ^2 x+\left(2+2 x-x^2\right) \sin x-3(x-1)^2=0,-\pi \leq x \leq \pi$ ના ઉકેલો ની સંખ્યા ............ છે.

સમીકરણ $\frac{3}{{x - {a^3}}} + \frac{5}{{x - {a^5}}} + \frac{7}{{x - {a^7}}} = 0,a > 1$ ને