અતિવલય  $x^2 - 4y^2 = 36 $ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો. જે રેખા  $x - y + 4 = 0 $ ને લંબ છે.

જો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અતિવલયની$\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર  $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય, તો $ a : b $ = ……

રેખા $\,y\,\, = \,\,ax\,\, + \;\,b$ એ અતિવલય $\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો સ્પર્શક હોવાથી શરત હેઠળ ગતિ કરતા બિંદુ $P\,\,\left( {a,\,\,b} \right)\,\,$ નો બિંદુપથ

$0 < \theta  < \frac{\pi }{2}$.જો અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{{\cos }^2}\,\theta }} - \frac{{{y^2}}}{{{{\sin }^2}\,\theta }} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $2$ કર્તા વધારે હોય તો નાભીલંબની મહતમ લંબાઈ ક્યાં અંતરાલમાં મળે,

ધારોકે બિંદુ $P (4,1)$ માંથી અતિવલય $H: \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ છે.જો $Q$ એવું બિંદ્દુ હોય કે જેમાથી $H$ પર દોરેલ સ્પર્શકોના ઢાળ $\left| m _1\right|$ અને $\left| m _2\right|$ હોય અને તેનો $x$-અક્ષ પર ધન અંતઃખંડો $\alpha$ અને $\beta$ બનાવે,તો $\frac{(P Q)^2}{\alpha \beta}=........$

જો અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1$ ના પ્રથમ ચરણમાં નાભીલંબનો સ્પર્શક $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષને અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે તો $(OA)^2 - (OB)^2$ = ...................... જ્યાં $O$ એ ઉંગમબિંદુ