સમીકરણ $9x^2 - 16y^2 - 18x + 32y - 151 = 0$ કેવો અતિવલય દર્શાવે છે ?

જો અતિવલયની નાભીઓ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ની નાભીઓ સમાન હોય અને અતિવલયની ઉકેન્દ્રીતા એ ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રીતાથી $\frac{15}{8}$ ગણી છે, તો અતિવલય પરના બિંદુ $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ નું ન્યૂનતમ  નાભી અંતર મેળવો.

$P$ એ પરવલય $y^2 = 12x$ અને અતિવલય $8x^2 -y^2 = 8$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ છે. જો $S$ અને $S'$ એ અતિવલયની નાભીઓ હોય જ્યાં $S$ એ ધન $x-$ અક્ષ પર હોય તો બિંદુ $P$  એ $SS'$ ને ................ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે .

આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો :  શિરોબિંદુઓ $(0,\,\pm 5),$ નાભિઓ $(0,\,±8)$

અતિવલય $ \frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, - \,\,\frac{{{{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)}^2}}}{9}\,\, = \,\,1\,$   ની  નાભીઓ.......

જો અતિવલય અને તેની અનુબદ્ધ ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને $e'$ હોય, તો $\frac{1}{{{e^2}}}\,\, + \;\,\frac{1}{{e{'^2}}}\,\, = \,\,.......$