આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(\pm 3 \sqrt{5},\,0),$ નાભિલંબની લંબાઈ $8$
આપેલ શરતોનું પાલન કરતાં અતિવલયનું સમીકરણ મેળવો : નાભિઓ $(\pm 3 \sqrt{5},\,0),$ નાભિલંબની લંબાઈ $8$
Foci $(\pm 3 \sqrt{5},\, 0),$ the latus rectum is of length $8$.
Here, the foci are on the $x-$ axis.
Therefore, the equation of the hyperbola is of the form $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
since the foci are $(\pm 3 \sqrt{5}, \,0)$, $c=\pm 3 \sqrt{5}$
Length of latus rectum $=8$
$\Rightarrow \frac{2 b^{2}}{a}=8$
$\Rightarrow b^{2}=4 a$
We know that $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
$\therefore a^{2}+4 a=45$
$\Rightarrow a^{2}+4 a-45=0$
$\Rightarrow a^{2}+9 a-5 a-45=0$
$\Rightarrow(a+9)(a-5)=0$
$\Rightarrow a=-9,5$
since a is non-negative, $a=5$
$\therefore b^{2}=4 a=4 \times 5=20$
Thus, the equation of the hyperbola is $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{20}=1$
Similar Questions
અતિવલય $ \frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, - \,\,\frac{{{{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)}^2}}}{9}\,\, = \,\,1\,$ ની નાભીઓ.......
અતિવલય $ \frac{{{x^2}}}{{16}}\,\, - \,\,\frac{{{{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)}^2}}}{9}\,\, = \,\,1\,$ ની નાભીઓ.......
જો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અતિવલયની$\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય, તો $ a : b $ = ……
જો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અતિવલયની$\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય, તો $ a : b $ = ……
વિધાન $ (A) $ : બિંદુ $(5, -4)$ એ અતિવલય $y^2 - 9x^2 + 1 = 0 $ ની અંદર આવેલું છે.
કારણ ${\rm{(R)}}$ બિંદુઓ ${\rm{ (}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}$ એઅતિવલય ${\rm{ }}\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\, = \,\,1$ ની અંદર આવેલું , તો $\frac{{x_{^1}^2}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{y_1^2}}{{{b^2}}}\, - \,\,1\,\, < \,\,0$
વિધાન $ (A) $ : બિંદુ $(5, -4)$ એ અતિવલય $y^2 - 9x^2 + 1 = 0 $ ની અંદર આવેલું છે.
કારણ ${\rm{(R)}}$ બિંદુઓ ${\rm{ (}}{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{, }}{{\rm{y}}_{\rm{1}}}{\rm{)}}$ એઅતિવલય ${\rm{ }}\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\, = \,\,1$ ની અંદર આવેલું , તો $\frac{{x_{^1}^2}}{{{a^2}}}\, - \,\,\frac{{y_1^2}}{{{b^2}}}\, - \,\,1\,\, < \,\,0$
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............
ધારો કે અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{5}{4}$ છે. જો આ અતિવલય પરનાં બિંદુ $\left(\frac{8}{\sqrt{5}}, \frac{12}{5}\right)$ આગળ અભીલંબનું સમીકરણ $8 \sqrt{5} x +\beta y =\lambda$ હોય, તો $\lambda-\beta$ = ............
- [JEE MAIN 2022]
અતિવલય $16x^{2} - 32x - 3y^{2} + 12y = 44 $ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.
અતિવલય $16x^{2} - 32x - 3y^{2} + 12y = 44 $ ની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.