- Home
- Standard 11
- Mathematics
વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1\,$બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. રેખા $2x + y = 1$ એ અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, - \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,$નો સ્પર્શક છે. જો આ રેખા એ ખૂબ જ નજીકની નિયામિકા અને $x$-અક્ષોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય, તો અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા મેળવો.
$3$
$4$
$2$
$\sqrt 2$
Solution
નિયામિકા $x$- અક્ષ ને $\left( { \pm \,\,{\rm{a/e,}}\,\,{\rm{0}}} \right)$ આગળ છેદે છે,
આથી, $ \frac{{2a}}{e}\,\,\, + \;\,0\,\, = \,\,1\,$ (નજીકની નિયામિકા માટે) $ \Rightarrow \,\,2a\,\, = \,\,e\,\,\,\,…….\left( i \right)$
હવે,$\,{b^2}\,\, = \,\,{a^2}\,\,\left( {{e^2}\,\, – \,\,1} \right)\,\, = \,\,{a^2}\,\left( {4{a^2}\,\, – \,\,1} \right)$ $\, \Rightarrow \,\,\frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\,\, = \,\,4{a^2}\,\, – \,\,1\,\,\,\,\,…..\left( {ii} \right)$
આપેલ રેખા $y\,\, = \,\, – 2x\,\, + \;\,\,1$ એ અતિવલય નો સ્પર્શક .
સ્પર્શતાની શરત $ {c^2}\,\, = \,\,{a^2}{m^2}\,\, – \,\,{b^2}$ છે.
$ \Rightarrow \,\,1\,\, = \,\,4{a^2}\, – \,\,{b^2}\,\, \Rightarrow \,\,\,4{a^2}\,\, – \,\,1\,\, = \,\,{b^2}\,\,\,\,…….\left( {iii} \right)\,$
$\left( {ii} \right)$ અને $\left( {iii} \right)$ પરથી ${a^2}\,\, = \,\,1$
$ \Rightarrow \,\,\left( {ii} \right)$ પરથી $\,{b^2}\,\, = \,\,3\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,e\,\, = \,\,\sqrt {\frac{{1\,\, + \;\,3}}{1}} \,\, = \,2$
