જો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર અતિવલયની$\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{a}}^{\rm{2}}}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર  $3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં હોય, તો $ a : b $ = ……

અતિવલય $H : x^{2}-y^{2}=1$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a > b >0$, માટે ધારોકે

$(1)$ $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાની વ્યસ્ત છે, અને

$(2)$ રેખા $y=\sqrt{\frac{5}{2}} x+ K$ એ $E$ અને $H$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

તો $4\left(a^{2}+b^{2}\right)=$ ...........

જો અતિવલય એ બિંદુ $\mathrm{P}(10,16)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનું શિરોબિંદુ $(\pm 6,0)$ હોય તો બિંદુ $P$ આગળના અભિલંભનું સમીકરણ મેળવો.

કોઈ એક અતિવલય, એ ઉપવલય $\frac{ x ^{2}}{25}+\frac{ y ^{2}}{16}=1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થાય છે અને તેની મુખ્ય અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ અનુક્રમે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષ સાથે એકાકાર છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાઓનો ગુણાકાર એક હોય, તો તે અતિવલયનું સમીકરણ ....... થશે.

અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ પરનાં બિંદુ $(8,3 \sqrt{3})$ આગળનો અભિલંબ એ બિંદુ $\dots\dots$ માંથી પસાર થશે.

ધારોકે રેખા $L_{1}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ નો સ્પર્શક છે અને ધારો કે $L_{2}$ એ ઉગામબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $L_1$ ને લંબ રેખા છે.જો $L_1$ અને $L_2$ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\alpha x^{2}+\beta y^{2}$ હોય તો $\alpha+\beta=\dots\dots\dots$