$(3, 5)$ માંથી પસાર થતા ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા વાસ્તવિક સ્પર્શકોની સંખ્યા

$15$ સેમી લંબાઈનો સળિયો $AB$ યામાક્ષો પર એ રીતે મૂકેલ છે કે અંત્યબિંદુ $A$ $x-$ અક્ષ પર અને $B$ $y -$ અક્ષ પર રહે. સળિયા પર $ P(x, y)$ બિંદુ એ રીતે લીધેલ છે કે $AP = 6$ સેમી હોય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુગણ ઉપવલય છે. 

જેની પ્રધાનઅક્ષ $x -$ અક્ષ અને કેન્દ્ર ઉંગમબિંદુ હોય તેવા ઉપવલયના નાભીલંબની લંબાઈ $8$ છે જો બંને નાભીઓ વચ્ચેનું અંતર તેની ગૌણઅક્ષની લંબાઈ જેટલું હોય તો નીચેનામાંથી ક્યું બિંદુ ઉપવલય પર આવેલ નથી ? 

ઉપવલયમાં તેની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ અને પ્રધાન અક્ષ $8$ છે. તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા.....

આપેલ શરતોનું સમાધાન કરતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધોઃ $b=3,\,\, c=4,$  કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ તથા નાભિઓ $x-$ અક્ષ પર હોય. 

બિંદુઓ $S$ અને $S\,'$ એ ઉપવલયની નાભીઓ અને બિંદુ $B$ એ ગૌણઅક્ષ પરના અંત્યબિંદુ છે જો $\Delta S\,'BS$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં ખૂણો $B$ કાટખૂણો હૉય અને $(\Delta S\,'BS)$ નું ક્ષેત્રફળ = $8\,$ ચો.એકમ હોય તો ઉપવલયની નાભીલંબની લંબાઈ .......... થાય