ઉપવલય {E₁},,:,,frac{{{x^2}}}{9},, + ,frac{{{x^2}}}{4}, = ,,1 એ લંબચોરસ R

English

Gujarati

Hindi

10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

normal

ઉપવલય ${E_1}\,\,:\,\,\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \;\,\frac{{{x^2}}}{4}\, = \,\,1$એ લંબચોરસ $R$ કે જેની બાજુઓ યામાક્ષોને સમાંતર હોય તેની અંદર આવેલ છે બીજુ ઉપવલય $E_2\ (0, 4)$ તો ઉપવલય $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા :

A

$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

B

$\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

C

$1/2$

D

$3/4$

Solution

The ellipse $E_1$ touches $x$ axis at $(\pm 3,0)$ and $y$ axis at $(0, \pm 2)$

Since the ellipse is inscribed in rectangle $R$ whose sides are parallel to the coordinate axis, the vertices of rectangle are $(\pm 3, \pm 2)$

Let the equation of ellipse $E_2$ be $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

The ellipse circumscribes the rectangle $R$, so the vertices of rectangle lies on ellipse $E _2$

Therefore we get $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$

Given that ellipse $E_2$ passes through $(0,4)$

So we get $b =4$ and $a ^2=12$

We know that $a^2=b^2\left(1-e^2\right)$

$\Rightarrow e ^2=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow e =\frac{1}{2}$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ક્યારે ઉપવલય દર્શાવે ?

normal

જો ઉપવલય $\frac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{16}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1\,\,\,$ ની નાભિઓ, અતિવલય $\frac{{{x^2}}}{{144}}\,\, – \,\,\frac{{{y^2}}}{{81}}\,\, = \,\,\frac{1}{{25}}$ ની નાભિઓને સમાન હોય,તો ${b^2}\, = \,\,………..$

normal

જો રેખા $x -2y = 12$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ ના બિંદુ $\left( {3,\frac{-9}{2}} \right)$ આગળનો સ્પર્શક હોય તો ઉપવલયના નાભીલંબની લંબાઈ =

hard

(JEE MAIN-2019)

જો ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}\,\, = \,\,1$ નો કોઈપણ સ્પર્શક અક્ષો પર $h$ અને $k$ લંબાઈનો અંત:ખંડ કાપે, તો…..

hard

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે રયવામાં આવ છ કે જેથી તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતાઓ એ $E_1$ ના જેટલા જ હોય, તથા $E_i$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ એ $E _{ i +1}( i \geq 1)$ ના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય. જો ઉપવલય $E _i$ નું ક્ષેત્રફળ $A _i$ હોય, તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{ i =1}^{\infty} A _{ i }\right)=$, _____

normal

(JEE MAIN-2025)