एक पिण्ड गुरुत्वीय क्षेत्र में स्वतंत्रतापूर्वक गिर रहा है। जब वह $U$ मात्रा की गुरुत्वीय ऊर्जा खो देता है तब उसका वेग $v$ हो जाता है। उस वस्तु का द्रव्यमान है

प्रत्येक द्रव्यमान $3 \times 10^{31} \,kg$ वाले दो तारों के मध्य दूरी $2 \times 10^{11}\, m$ है। ये उभयनिष्ठ द्रव्यमान केन्द्र $O$ के सापेक्ष एक तल में घूर्णन करते हैं। एक उल्का पिण्ड तारे के घूर्णन तल के लम्बवत् गतिशील होकर $O$ से गुजरता है। इस द्वितारे के गुरूत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन के लिये $O$ पर उल्कापिण्ड की न्यूनतम चाल क्या होनी चाहिये ? (गुरूत्वाकर्षण नियतांक $G =6.67 \times 10^{-11}\, Nm ^{2} kg ^{-2}$ )

$m$ द्रव्यमान का एक उपग्रह किसी $M$ द्रव्यमान के ग्रह की परिक्रमा $R_{1}$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में कर रहा है। इसकी कक्षा की त्रिज्या को $R_{2}$ करने के लिये $\left(R_{2}>R_{1}\right)$ उपग्रह को दी जाने वाली अतिरिक्त गतिज ऊर्जा होगी

पृथ्वी तथा चन्द्रमा के द्रव्यमान तथा त्रिज्याएँ क्रमशः $\left( M _{1}, R _{1}\right)$ और $\left( M _{2}, R _{2}\right)$ है। उनके केन्द्र $'r'$ दूरी पर है। दोनों द्रव्यमानों के मध्य से $'m'$ द्रव्यमान को प्रक्षेपित करने के लिए न्यूनतम पलायन वेग ज्ञात कीजिए।

दो उपग्रह $A$ तथा $B$, जिनके द्रव्यमानों का अनुपात $3 : 1$ है, $r$ तथा $4r$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में गति कर रहे हैं। तब $A$ तथा $B$ की यांत्रिक ऊर्जाओं का अनुपात है