पृथ्वी तथा चन्द्रमा के द्रव्यमान तथा ?

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7.Gravitation

hard

पृथ्वी तथा चन्द्रमा के द्रव्यमान तथा त्रिज्याएँ क्रमशः $\left( M _{1}, R _{1}\right)$ और $\left( M _{2}, R _{2}\right)$ है। उनके केन्द्र $'r'$ दूरी पर है। दोनों द्रव्यमानों के मध्य से $'m'$ द्रव्यमान को प्रक्षेपित करने के लिए न्यूनतम पलायन वेग ज्ञात कीजिए।

A

${V}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{4 {G}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)}{{r}}}$

B

${V}=\sqrt{\frac{4 {G}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)}{{r}}}$

C

${V}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 {G}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)}{{r}}}$

D

${V}=\frac{\sqrt{2 {G}}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)}{{r}}$

(JEE MAIN-2021)

Solution

$\frac{1}{2} {mV}^{2}-\frac{{GM}_{1} {m}}{{r} / 2}-\frac{{GM}_{2} {m}}{{r} / 2}=0$

$\frac{1}{2} {mV}^{2}=\frac{2 {Gm}}{{r}}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)$

${V}=\sqrt{\frac{4 {G}\left({M}_{1}+{M}_{2}\right)}{{r}}}$

Standard 11

Physics

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दो उपग्रह $A$ तथा $B$, जिनके द्रव्यमानों का अनुपात $3 : 1$ है, $r$ तथा $4r$ त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में गति कर रहे हैं। तब $A$ तथा $B$ की यांत्रिक ऊर्जाओं का अनुपात है

medium

एक $'\mathrm{m}'$ द्रव्यमान का कण पृथ्वी सतह से समान वेग $v=\mathrm{k} \mathrm{V}_{\mathrm{e}}(\mathrm{k}<1)$ से प्रक्षेपित किया जाता है।

$\left(\mathrm{V}_{\mathrm{e}}=\right.$ पलायन वेग)

कण के द्वारा सतह के ऊपर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई है :

hard

(NEET-2021)

$M$ द्रव्यमान तथा $R$ त्रिज्या वाले कोश (Shell) के केन्द्र से $r$ दूरी पर बिन्दु द्रव्यमान $m$ रखा हुआ है। गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U \,(r) $ के $r$ के साथ परिवर्तन को निम्न ग्राफ प्रदर्शित करता है

medium

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normal

(KVPY-2021)

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hard

(JEE MAIN-2020)