एक नली, जिससे पानी पिया जा सकता है, को ए?

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9-1.Fluid Mechanics

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एक नली, जिससे पानी पिया जा सकता है, को एक बर्तन में भर पानी के अन्दर $d$ गहराई तक डुबाया जाता है (सलग्न चित्र देखिए) | तदुपरांत, नली में $h _0$ प्रारंभिक ऊँचाई तक पानी खींच कर दोलन करने के लिए छोड़ दिया जाता है। इसके चलते बर्तन में भरे पानी की सतह से अब इसकी ऊँचाई $y$ आवर्ति (periodic) रूप से बदलती है। अवमंदन (damping) को नगण्य मानते हुए, $y$ किस समीकरण को संतुष्ट करेगा ( $g$ गुरुत्वीय त्वरण है) ?

A

$\ddot{y}+\frac{g}{d} y=0$

B

$\ddot{y}(y+d)+\frac{g}{d}(y+d)=0$

C

$\ddot{y}+\frac{\dot{y}^2}{d}+\frac{g}{d}(y+d)=0$

D

$\ddot{ y }+( y + d )+\dot{ y }^2+ gy =0$

(KVPY-2021)

Solution

(D)

Consider the mass of liquid in the straw. The entire liquid is moving with velocity $\dot{ y }$. Applying Newtons law on it.

$F_{\text {thrust }}=u_{\text {rel }} \frac{d m}{d t}=-\rho A \dot{y}^2$

$F_{\text {pressure }}=(\rho g d) A$

$F_{\text {gravity }}=-\rho A(y+d) g$

$F_{\text {net }}=m a$

$\Rightarrow \rho A(y+d) \ddot{y}=-\rho A \dot{y}^2+\rho g d A-\rho A g(y+d)$

$\Rightarrow(y+d) \ddot{y}^2+\dot{y}^2+g y=0$

Ans. is $D$

(Note : we can't apply Bernoulli's theorem because it is not in steady state. Energy is dissipated.)

Standard 11

Physics

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